素元分解整域 既約

質問

m ≧ 5 を奇数とする.Z[√－m] := {a + b√－m | a, b ∈ Z} は環になります。
この問題では， Z[√－m] が素元分解整域でないことを示したいです。(素元分解整域では，既約元は素元であることに注意)
Z[√－m] において，2 が既約元であることをどう示したらいいでしょうか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

似た問題で悩んでますね。
順番としては、「2が既約元である事」→「R=Z[√-m] が一意分解環でない事」の順に示す

R=Z[√-m] とおく。x∈R, x = a+b√-m に対し、d(x) = (a + b√-m) (a-b√-m) = a^2 + mb^2 = |x|^2 とおく。1/2∉Rなので2は可逆元ではない。2が規約元でないと仮定すると、2=xyとなる単元でないx,y∈Rがあるが、4 = d(xy) = d(x)d(y) なので d(x) は1, 2, 4 しか取り得ない。d(x) = 4ならx=±2となりxと同伴（mは5以上なので、bが0でなければd(x)≧5となり不適）、d(x) = 2は取り得ない、d(x) = 1ならx = ± 1となりxは可逆元なので、結局2の約元は自分と同伴な元もしくは可逆元しかないので、2は既約元。

mは5以上の奇数なので、2以上の整数nを使ってm = 2n+1 と書ける。m + 1 = 2(n+1) = (1+√-m)(1-√-m)で、2が素元であるなら 1+√-m, 1-√-mの少なくとも一方が2で割り切れる必要があるが、(1/2)(1+√-m), (1/2)(1-√-m)はいずれもRに属さないので2は素元でない。

お礼

なるほど。とても勉強になります。答えて頂きありがとうございます。こちらを参考にしてもう一度自分で考えてみます。ありがとうございました。