素元

質問

素元だけど既約元ではない例についておしえてください

整域における「素元⇒既約元」の証明を見ると、整域でない環における零因子を考えることになると思うのですが、よくわかりません

どうかよろしくおねがいします

回答No.2

koko_u_

>うーん、代数は全然わからないので、[2]が既約元じゃないのが、なんとなく信じがたいですが
わかんない時は定義を再確認せよ。

お礼

そうですね、[2]がZ/10Zで既約であるという事実をしっかりと受け止めたいと思います
既約の定義を再確認したら、Z/6Zの[2]も、[2]=[2][4]というふうに非可逆元の積に「分解」できちゃうから、下に書いたのと同じ理由で、質問文の例になってるんですね

回答No.1

koko_u_

>整域でない環における零因子を考えることになると思うのですが、よくわかりません
いや、もうだいたいできてる。
その証明のロジックが破綻するような環を与えればよい。

お礼

Z/10Zで考えてみました
・[2]で割り切れるのは(すべての)[偶数]で、[奇数][奇数]が[偶数]になることはないので、[2]は素元
・[2]は逆元をもたなくて、[2]=[4][8]で、[4]も[8]も逆元をもたないから、[2]は既約元ではない
・・・でしょうか？

うーん、代数は全然わからないので、[2]が既約元じゃないのが、なんとなく信じがたいですが

補足

どうもありがとうございました