ユークリッド整域

質問

ρ = (1+√－3 )/2とおく.Z[ρ] = {a+bρ | a,b ∈ Z} は環になる(ρ が ρ2 －ρ+1 = 0 2を満たすことから，Z [ρ] が C の部分環であることが容易に確かめられ，Z [ρ] は環になる.)

d:Z[ρ]→Z≥0 を，
d(a+bρ) = (a+bρ)(a+bρ) = a^2 +ab+b^2
と定めるとき，

Z [ρ] は d に関してユークリッド整域になるのは何故でしょうか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

> d(a+bρ) = (a+bρ)(a+bρ)
d(a+bρ) = (a+bρ)(a-bρ) ですね。d(a+bp) = | a+bp |^2 （|・|は複素数の絶対値）となっています。
Z[ρ] は Eisenstein 整数環 と言われているものです。正直言って、Eisenstein 整数環が Euclid 整域になることは適当な本に載っているし、ネットでも検索すれば容易に出てくるので、そちらを見た方がいいと思いますが....

まあ α, β∈Z[ρ], β≠ 0 に対し、α / β に（複素平面上で）最も近い γ ∈Z[ρ] を取る。Z[ρ] に属する点全体は、複素平面上で一辺が1の正三角形の格子状となることに注目すれば、|α / β - γ| は、その正三角形の重心から最も近い頂点までの距離以下となるとなるから

|α / β - γ| ≦ 1/√3

となる。改めて α / β - γ = δ とおくと、α = βγ + δβ、 |δβ| ≦ |β|/√ 3
である故、d(δβ) ≦ d(β) / 3 となるから、Eisenstein 整数環 はdをノルムとして Euclid整域となる。

お礼

ご丁寧にありがとうございます！！とても分かりやすいです！参考にさせて頂きます＜(_ _)＞