零因子と整域について

質問

Xが+に対して可換群,・に対して半群をなし,分配法則x(y+z)=xy+xz、(x+y)z=xz+yzをなす時Xを環と呼ぶ。
・に関しての単位元を持つ環を特に単位的環と呼ぶ。

それでa≠0,b≠0でab=0なる環の元を零因子と呼ぶと思うのですが
実際,単位的環ではなくただの環で零因子を持つような環って存在するのでしょうか?

そして零因子を持たない可換な環を整域と呼ぶようですが。
零因子を持たない非可換な環には特に呼び方はあるのでしょうか(非可換な整域?)?

回答No.2

hgmrog

>>零因子を持たない非可換環がなかなか見つけれません。
>>零因子を持たない非可換環はどのようなものが挙げられますでしょうか?

斜体と呼ばれるものがまさにそれです．
斜体とは非可換な体のことで，体なので0以外の元は逆元を持つので
零因子ではありません．

斜体の代表的な例は四元数体 H です．
四元数体はwikiとかで詳しく乗っているのでそちらを見てください．

体じゃなくて，本当の環の例がほしいなら，H 上の一変数多項式環
でしょうか？確かめたわけじゃないですが，通常の体上一変数多項式
環の時と同様にして整域なことがいえそうです(間違ってたらスミマセン)．

回答No.1

hgmrog

>>1を持たない環で零因子を持つもの

偶数の全体を 2Z とすると，この2Zの上の2×2行列全体 M(2, 2Z)なんかは
1を持たない非可換環で，

0, 2
0, 0

なる元は2乗すると0なので，求める環になってます．

>>そして零因子を持たない可換な環を整域と呼ぶようですが。
>>零因子を持たない非可換な環には特に呼び方はあるのでしょうか(非可換な整域?)?

うろ覚えなんですが，一般の環で零因子を持たないものを聖域と定義
したように思います．そうすると一般に聖域といっただけでは，非可換環
を意味しているのではないでしょうか．

お礼

> 偶数の全体を 2Z とすると，この2Zの上の2×2行列全体 M(2, 2Z)なんかは
> 1を持たない非可換環で，
>
> 0, 2
> 0, 0
>
> なる元は2乗すると0なので，求める環になってます．

有難うございます。大変参考になります。

> そうすると一般に聖域といっただけでは，非可換環
> を意味しているのではないでしょうか．

零因子を持たない非可換環がなかなか見つけれません。
零因子を持たない非可換環はどのようなものが挙げられますでしょうか?

お手数お掛けしまして誠にすいません。