【素元の分解】一意性の証明

質問

代数学の初歩にて、２つほど疑問があります。
片方だけでもよいので、どなかたご教示お願いします。

(1)整域Ｒにて、１つの元の素元分解は一意的である。

　すなわち、p_1p_2 ... p_r = q_1q_2 ... q_s 　　　（p_i と q_i　は素元）

　とすると、r=sであり、番号をいれかえることで単元倍を除いてp_i = q_i　となる。

という命題で、単元倍を除く　ということの意味がよくわかりません。
いろいろやって、適当に順番を入れ替えて、q_1 = ap_1 と表せる　（aは単元）ことはわかったのですが、その直後、　『すなわち、単元倍を除いて　q_1 = p_1である』と続くのですが、
これが意味不明です。どうあがいてもq_1 = p_1は正しくないと思うのですが、
単元倍を除いて　というのは一体どういうことなんでしょうか。

(2)上の命題の直後に続く命題です。
任意の単元でない元a≠0が、単元倍を除いて一意的に既約元の積にかけるならば、
整域Ｒは素元分解整域である。

これを示すためには、条件の下　既約元が素元になることを示せばいいですよね。
0≠a（aは単元でない）をRの既約元として、イデアルRaを考えたとき、
xy∈Raとすると、a | xyで、　条件より　x=x_1x_2 ...x_r y=y_1y_2 ... y_s と分解できます。

よって、a | x_1x_2 ...x_r y_1y_2 ... y_s となります。
ここで、『既約元分解の一意性から、既約元aは、とあるx_i かy_iに単元倍を除き等しくなる。』
とあるんですが、ここもさっぱり理解できません。

経験不足であることは十分わかっているのですが、
ヒントだけでも教えていただけないでしょうか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「単元倍を除いて」ってのは「単元倍してるのを無視すれば」ってくらい. 「単元倍を無視する」わけだから, q_1 = a p_1 (a は単元) のとき「a倍」はなかったことにしていい.

後者は... 「既約元分解の一意性」ってのが何を意味するか, かなぁ. 「条件より　x=x_1x_2 ...x_r y=y_1y_2 ... y_s と分解できます」の「分解」は, てきとうにやっていいわけじゃなくってなにか条件があるんだよね, きっと.

回答No.2

uyama33

p_1p_2 ... p_r = q_1q_2 ... q_s 　　　（p_i と q_i　は素元）

　とすると、r=sであり、番号をいれかえることで単元倍を除いてp_i = q_i　となる。

という命題で、単元倍を除く　ということの意味がよくわかりません。
いろいろやって、適当に順番を入れ替えて、q_1 = ap_1 と表せる　（aは単元）ことはわかったのですが、その直後、　『すなわち、単元倍を除いて　q_1 = p_1である』と続くのですが、
これが意味不明です。どうあがいてもq_1 = p_1は正しくないと思うのですが、
単元倍を除いて　というのは一体どういうことなんでしょうか。

6=2*3=(-2)*(-3)
であり、
２=(-1)*(-2)

(-2)=(-1)*2
なので、
-2 は　単元　-1　を　2　にかけてある。
イコールの意味をかえて、
単元をかけたものは等しいと考える。
と
２＝-2
と書ける。

1/2　＝　2/4　＝　3/6
のようなもの。表現は違うが一定の約束で等しいとする。