素数の分類に関して

質問

前回質問させていただいた証明に関することなのですが、最後の一文が分からないためもう一度質問させていただきます。

［類題］　「8n + 3 型の素数は無限に多くある事を示せ。」の略解。

＊）文中のｐ＾は複素数ｐの共役な複素数です。例えば、ｐ＝１＋iの場合、ｐ＾は１－iのことです。
また、a2 はaの二乗という意味です。

　証明）もし 8n + 3 型の素数が有限個であったとし、その全体を　p1, p2, ... , pn とする。 P = p1p2 ... pn + √2 i と置いて、これを単項イデアル整域 Z[√2 i ] で素元分解する。 N (P) = PP^ は奇数であるから（正確には、 N (P) ≡ 3 ( mod. 8 ) 、） P の有理整数の素因数は奇数である。この因子は PP^ の中では偶数冪で出てくるから、その部分は 8n + 1 型である。又、 P は有理整数に同伴でないから、a + b √2 i 型 (b ≠ 0, 有理整数の素因子と同伴でない物) の因子がある。PP^ は奇数であるから a は奇数である。更に、この a + b √2 i 型の因子の b が偶数であるとすると、 N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 ≡ 1 (mod. 8) であるから、 この形の b が全て偶数であるとすると PP^ ≡ 3 (mod. 8) と矛盾する。従って b が奇数の物 a + b √2 i が有るが、素元分解の一意性により、N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 は素数であり a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8) となり有限性に矛盾。故にこの型の素数は無限個。

素元分解の一意性により、N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 は素数であり a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8) となり有限性に矛盾。
における
a2 + 2b2 は素数であり a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8）となった場合なぜ有限性に矛盾していると言えるのでしょうか。

a2＋2b2が素数でないならば矛盾はしてないのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

a^2はaの2乗という意味です。

以下解説

N (P)=(p1p2 ... pn)^2 + 2がp1，p2・・・，pnのいずれで割っても2余ります。
即ち、 N (P)=(p1p2 ... pn)^2 + 2はp1，p2・・・，pnのいずれでも割り切れません。
これがポイントです。

a^2+2b^2は8で割ると3余る素数であることはいいんですね。
N (P)はa^2+2b^2で割り切れます。
N (P)はp1，p2・・・，pnのいずれでも割り切れませんので
a^2+2b^2はp1，p2・・・，pnのいずれでも異なる、
新たな8n+3型の素数ということです。

お礼

とても分かりやすい説明ありがとございました。

同様にして、８n＋７型も解くことができました。

今後、その８n＋７型の証明が正しいのかを乗せたいと思うので、もしお時間があればご覧になって下さい。