解析学です！

質問

こちらの問題の解答よろしくお願いします

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

(1) ヒントに従え。f(x) = 0 (0≦x<1), 1 (x=1)。
(2)
先ず、正整数nと、0 < y < 1 に対し、(1-y)^n ≧ 1-ny が成り立つことを示せ。
その上で、任意の 正整数n, 任意の e>0に対し、ある0<y<1が存在して、 1-e < (1-y)^n となる事を示せ。この yに対し、f(1-y) = 0, 一方 f[n](1-y) > 1-e である故、|| f[n] - f|| ≧ | f[n](y) - f(y)|| ≧ 1-e 。ここから ||f[n] - f || = 1 である事が言える。
(3)
関数列の収束について、幾つか基本的な事を知っていれば、この問題は以下の通り明らか。
実際 {f[n]| が || || に関して Cauchy列、つまり関数列 { f[n] } が一様Cauchy列なら一様収束し、かつf[n] は全て連続関数なので、極限の fもまた連続でないといけないが、実際は fは連続でないので、関数列 { f[n] } は一様Cauchy列でない。

で、（すこし難しいかも）と書いてあるということは、こう言う事は知っていないということが前提だと思われるので、直接示すとなると例えば以下の通り。

任意の非負整数 n に対し、ある 0<y<1が存在して、(1-y)^n > 2/3 となることを先ず示せ。このn及びyに対し、ある非負整数 mが存在し、m>n 且つ、0<(1-y)^m < 1/3となる事を示せ。このn, mに対し、|| f[n] - f[m]|| ≧ |f[n]( 1-y) - f[m](1-y) | > 1/3。
従って、任意の非負整数 n に対し、ある非負整数 mが存在し、m>nかつ || f[n] - f[m] || > 1/3となるから、 {f[n]| は || || に関して Cauchy列でない。

お礼

さんこうにしてやってみます