微分方程式の解析的解法

質問

家にあった問題集の中で一問だけどうしても解けない問題がありました。
（解答は載っておらず、やり方の例みたいなものは載っていたのですが、何回読んでもさっぱりでした。）

問、
微分方程式 dx/dt+x=1(x(0)=0) を解析的に解き、
x=1-e^-t を解として導け。

なにぶんこのような趣旨の問題は初めてだったので、解法の例を何度読んでも全然わかりませんでした。

どなたかこの問題の解答例をお答え頂けないでしょうか。
解答例と問題を見比べながら、解方を考察したいと思います。

どうかよろしくお願いします。

回答No.2

-kc · ベストアンサー

まず、解析的に解く、という言葉の意味ですが、
高校数学で行うように、方程式の変形で解を導くことです。

この形の問題は、微分方程式と呼ばれ、高校数学のカリキュラムからは除外されていますが、
理系の大学の数学の授業では初歩として習います。

問題の式ですが、

dx/dt+x=1

dx/dt=1-x

y=1-xとおくと、

dy/dt=-dx/dt

したがって、dx/dt=1-xは、

dy/dt=-y

1/y・dy/dt=-1となります。

両辺をｔで積分すると、

∫dy/y=-∫dt

左辺=ln{|y|}+C1

右辺=-t+C2

x(t)について、t=0のときx(0)=0ですので、C1=C2

すなわち、ln{|y|}=-t

対数関数を外すと、|y|=exp(-t)

|y|=|1-x|=exp(-t)

・1-x≧0のとき、

　1-x=exp(-t)

　x=1-exp(-t)

　両辺tで微分すると、dx/dt=exp(-t)=1-x

　となり、問題の式を満たします。

・1-x<0のとき、

　x-1=exp(-t)

　x=exp(-t)-1

　両辺tで微分すると、dx/dt=-exp(-t)=x-1

　となり、問題の式を満たしません。

以上より、x=1-exp(-t)が導かれます。

なお、exp(n)というのは、自然対数の底eのn乗という意味で使用しています。

ご参考になれば幸いです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
回答していただいた方々の回答を参考に
より一層勉学に励みたいと思います。

回答No.1

f272

dx/dt+x=1
を変数が右辺と左辺に分離するように変形する
dx/(1-x)=dt
積分を実行する。初期条件に注意すると
-log(1-x)=t
さらに変形すれば
x=1-exp(-t)

> なにぶんこのような趣旨の問題は初めてだった

じゃあ，今までどんな問題をやってきたんだろうと思ってしまいます。
微分方程式の解法としては，まず初めに学習するものですよ。

お礼

すみません；　解析的という言葉の意味をよく理解していませんでした。
回答して下さって本当にありがとうございました。