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どなたかこの解析学の問題解答書いてもらえませんか?

どなたかこの解析学の問題解答書いてもらえませんか? φ=xcos1/x,xノットイコール0、0 x=0 y=φ(x),0≦x≦1/2πで定まる曲線は長さを持たないことを証明せよ。

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  • nag0720
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回答No.3

数列X(n)を、X(n)=1/{(1/2+n)π} (n=1,2,…)とする。 φ(X(n))は、 nが偶数のとき、φ(X(n))=1/{(1/2+n)π} nが奇数のとき、φ(X(n))=-1/{(1/2+n)π} 区間[X(n+1)~X(n)]の間の関数φの長さL(n)は、 L(n)>1/{(1/2+n+1)π}+1/{(1/2+n)π}>2/{(n+2)π} よって、 Σ[n=1…∞]L(n)=∞ 曲線の長さはΣ[i=1…∞]L(i)より大きいので発散する。

noname#128656
質問者

お礼

完璧な解答ありがとです。理解できました!またよろしくお願いします。

その他の回答 (2)

  • alice_38
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回答No.2

いけね。計算間違いあり。 再計算中です…

  • alice_38
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回答No.1

φ'(0) が存在しないことは、問題ありません。 ∫[x=ε→π/2] √( 1+(φ')~2 )dx が ε→+0 の極限で収束すれば、 その値を曲線の長さと見なせます。 題意を証明するには、上記の極限が 発散することを示せばよい。 φ' = cos(1/x) + x( -sin(1/x) )(-1/x~2) だから、 1/x>0 より |φ'| = |cos(1/x) + (1/x) sin(1/x)| ≧ -|cos(1/x)| + (1/x)|sin(1/x)| ≧ -1 + 1/x が成り立ちます。 これにより、 1 + (φ')~2 ≧ 1 + (-1 + 1/x)~2 = g(1/x) ただし、g(t) = t~2 - 2t + 2 です。 u = g(t) のグラフを tu 平面に描いてみれば、 十分小さい正の定数 A に対して g(t) ≧ At~2 が成り立つことが解ります。 したがって、 √( 1+(φ')~2 ) ≧ (√A)/x が成り立ちます。 この式の両辺を 0→π/2 で積分してみれば、 劣積分の発散から、曲線長の発散が言えます。

noname#128656
質問者

お礼

alice_38さんすごく丁寧な解答ありがとです。ただ実はOKwave初めて使ったんですが記号とか文字バケしますよね?上の解答でも文字バケだらけなのですが・・・