ベクトル解析学について質問があります。

質問

x(u,v)を曲面のパラメーター表示とします。その（1）鏡映と（2）相似変換に関
し、第1、第2基本形式はそれぞれどう変わるか説明して下さいという問題で、
テキストに解答のみ書かれていて途中計算がわかりません。

途中計算を含めて噛み砕いて解説していただけると助かります。特になぜそのよ
うな解答になるのかという明確な根拠を知りたいです。
問題は
(1)Bを鏡映Mxyを表す行列とします。y(u,v)=Bx(u,v)とx(u,v)の第1基本形式、第
2基本形式をそれぞれ比較してください。

(2)0<λ<1に対し、x(u,v)を相似変換で縮小して得られる曲面をy(u,v)=λx(u,v)
とする時、y(u,v)とx(u,v)の第1基本形式、第2基本形式は、それぞれどう変わ
るか説明してください。

で、解答には以下のように書かれています。
(1)gは変わりません。φは-1倍されます。
(2)gはλ^2倍されます。φはλ倍されます。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

x(u,v)を曲面のパラメータ表示
x(u,v)=(x1(u,v),x2(u,v),x3(u,v))
x(u,v)の第1基本形式gをgx
x(u,v)の第2基本形式φをsx
xの第1種基本量を(Ex,Fx,Gx)
xの第2種基本量を(Lx,Mx,Nx)
とすると
x_u=(x1_u,x2_u,x3_u)
x_v=(x1_v,x2_v,x3_v)
x_uu=(x1_uu,x2_uu,x3_uu)
x_uv=(x1_uv,x2_uv,x3_uv)
x_vv=(x1_vv,x2_vv,x3_vv)
Ex=|x_u|^2=(x1_u)^2+(x2_u)^2+(x3_u)^2
Fx=(x_u,x_v)=(x1_u)(x1_v)+(x2_u)(x2_v)+(x3_u)(x3_v)
Gx=|x_v|^2=(x1_v)^2+(x2_v)^2+(x3_v)^2
gx=Ex|du|^2+2Fx(du,dv)+Gx|dv|^2
第１列x_uu第２列x_u第３列x_vの行列の行列式
|x_uu,x_u,x_v|
=
|x1_uu,x1_u,x1_v|
|x2_uu,x2_u,x2_v|
|x3_uu,x2_u,x3_v|
第１列x_uv第２列x_u第３列x_vの行列の行列式
|x_uv,x_u,x_v|
=
|x1_uv,x1_u,x1_v|
|x2_uv,x2_u,x2_v|
|x3_uv,x2_u,x3_v|
第１列x_vv第２列x_u第３列x_vの行列の行列式
|x_vv,x_u,x_v|
=
|x1_vv,x1_u,x1_v|
|x2_vv,x2_u,x2_v|
|x3_vv,x2_u,x3_v|

Lx=|x_uu,x_u,x_v|/√(ExGx-(Fx)^2)
Mx=|x_uv,x_u,x_v|/√(ExGx-(Fx)^2)
Nx=|x_vv,x_u,x_v|/√(ExGx-(Fx)^2)
sx=Lx|du|^2+2Mx(du,dv)+Nx|dv|^2
となる

(1)
Bを鏡映Mxyを表す行列
y(u,v)=Bx(u,v)
y(u,v)の第1基本形式gをgy
yの第1種基本量を(Ey,Fy,Gy)
y(u,v)の第2基本形式φをsy
yの第2種基本量を(Ly,My,Ny)
とすると
gy=Ey|du|^2+2Fy(du,dv)+Gy|dv|^2
sy=Ly|du|^2+2My(du,dv)+Ny|dv|^2
y_u=Bx_u
y_v=By_v
BB=1(単位行列),(鏡映を2回行うと元に戻る)
|B|=-1,(Bの行列式の値は-1となる)
|B|^2=1
だから
Ey=|y_u|^2=|Bx_u|^2=(Bx_u,Bx_u)=|x_u|^2=Ex
Fy=(y_u,y_v)=(Bx_u,By_v)=(x_u,y_v)=Fx
Gy=|y_v|^2=|Bx_v|^2=(Bx_v,Bx_v)=|x_v|^2=Gx
だから
gy=Ey|du|^2+2Fy(du,dv)+Gy|dv|^2
=Ex|du|^2+2Fx(du,dv)+Gx|dv|^2
=gx
∴
gy=gx
gは変わらない

√(EyGy-(Fy)^2)=√(ExGx-(Fx)^2)
y_uu=By_uu
y_uv=Bx_uv
y_vv=Bx_vv
だから
|y_uu,y_u,y_v|
=|Bx_uu,Bx_u,Bx_v|
=|B||x_uu,x_u,x_v|
=-|x_uu,x_u,x_v|

|y_uv,y_u,y_v|
=|Bx_uv,Bx_u,Bx_v|
=|B||x_uv,x_u,x_v|
=-|x_uv,x_u,x_v|

|y_vv,y_u,y_v|
=|Bx_vv,Bx_u,Bx_v|
=|B||x_vv,x_u,x_v|
=-|x_vv,x_u,x_v|
だから
Ly
=|y_uu,y_u,y_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=|Bx_uu,Bx_u,Bx_v|/√(ExGx-(Fx)^2)
=-|x_uu,x_u,x_v|/√(ExGx-(Fx)^2)
=-Lx

My=|y_uv,y_u,y_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=-|x_uv,x_u,x_v|/√(ExGx-(Fx)^2)
=-Mx

Ny=|y_vv,y_u,y_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=-|x_vv,x_u,x_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=-Nx
だから
sy=Ly|du|^2+2My(du,dv)+Ny|dv|^2
=-Lx|du|^2-2Mx(du,dv)-Nx|dv|^2
=-{Lx|du|^2+2Mx(du,dv)+Nx|dv|^2}
=-sx
∴
sy=-sx
φは-1倍される

(2)
0<λ<1に対し,
x(u,v)を相似変換で縮小して得られる曲面を
y(u,v)=λx(u,v)
y(u,v)の第1基本形式をgy
yの第1種基本量を(Ey,Fy,Gy)
y(u,v)の第2基本形式をsy
yの第2種基本量を(Ly,My,Ny)
とすると
gy=Ey|du|^2+2Fy(du,dv)+Gy|dv|^2
sy=Ly|du|^2+2My(du,dv)+Ny|dv|^2
y_u=λx_u
y_v=λy_v
だから
Ey=|y_u|^2=|λx_u|^2=(λx_u,λx_u)=λ^2|x_u|^2=λ^2Ex
Fy=(y_u,y_v)=(λx_u,λy_v)=λ^2(x_u,y_v)=λ^2Fx
Gy=|y_v|^2=|λx_v|^2=(λx_v,λx_v)=λ^2|x_v|^2=λ^2Gx
だから
∴
gy=(λ^2)gx
gはλ^2倍される

√(EyGy-(Fy)^2)
=√(λ^4ExGx-(λ^2Fx)^2)
=λ^2√(ExGx-(Fx)^2)
y_uu=λy_uu
y_uv=λx_uv
y_vv=λx_vv
だから

|y_uu,y_u,y_v|
=|λx_uu,λx_u,λx_v|
=λ^3|x_uu,x_u,x_v|

|y_uv,y_u,y_v|
=|λx_uv,λx_u,λx_v|
=λ^3|x_uv,x_u,x_v|

|y_vv,y_u,y_v|
=|λx_vv,λx_u,λx_v|
=λ^3|x_vv,x_u,x_v|

Ly=|y_uu,y_u,y_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=λ^3|x_uu,x_u,x_v|/{λ^2√(ExGx-(Fx)^2)}
=λLx

My=|y_uv,y_u,y_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=λ^3|x_uv,x_u,x_v|/{λ^2√(ExGx-(Fx)^2)}
=λMx

Ny=|y_vv,y_u,y_v|/√(EyGy-(Fy)^2)
=λ^3|x_vv,x_u,x_v|/{λ^2√(ExGx-(Fx)^2)}
=λNx
だから
sy=Ly|du|^2+2My(du,dv)+Ny|dv|^2
=λLx|du|^2+2λMx(du,dv)+λNx|dv|^2
=λ{Lx|du|^2+2Mx(du,dv)+Nx|dv|^2}
=λsx
∴
sy=λsx
φはλ倍される