解析力学の問題です。

質問

以下の問題について、参考書の解答が省略されていて困っています。
どなたか、模範解答をお示しいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

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Lagrangian
L = 1/2m(x ̇^2+y ̇^2+z ̇^2 ) - (x^2+y^2)
で記述される1質点系において、運動量ベクトルの各成分、角運動量ベクトルの各成分、力学的エネルギーが保存されるかを、この系が持つ対称性に基づいて議論せよ。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

ポテンシャルエネルギーがx，yの関数でzを含まないから，運動量のz成分のみ保存される。

円筒座標　(ρ，φ，z)　をとると，ポテンシャルエネルギーは
U = U(ρ) = ρ^2
で，力はz軸方向を向く中心力であるから角運動量のz成分のみ保存される。

力がz軸に対する中心力（動径方向を向き，大きさがρのみで決まる）であるから，保存力である。すなわち，力学的エネルギー保存が成立する。

実際，
∇×F = 0
であることが容易に確認できる。

という具合でしょうか。

お礼

丁寧にご回答いただき、ありがとうございます。
とても助かりました！！