大学のベクトル解析の問題について

質問

画像の９、１０の問題の詳しい解答を教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

取り敢えず 9だけ
まず、十分性の方は、vC×vAの項も忘れないこと。vX = k * vA / (vA・vA) + vC ×vA が、vA・vX = k を満たす事を確認すること。これは計算すれば出る。

今va = vA / √(vA・vA)とおくと、vaはvAの方向を向いた単位ベクトル。
三次元空間なので、vaと一次独立なベクトルvb'を適当に取り、Gram-Schmidtの直交化法（具体的にはvb'' = vd - (vd・va)/(va・va) va, vb = vb'' / √(vb''・vb'')により、vaと直交する単位ベクトルvbを作る。
更にvc = vb ×va とおくと、vc は va ともvbとも直交する単位ベクトルとなり、va, vb, vcは正規直交基底となる。

vX = a * va + b * vb + c * vcとおくと、vA・vX = (|A| va) ・(a * va + b * vb + c * vc) = a|A| となるから、

vA・vX = k
⇔a|A| = kかつ （bとcは任意）
⇔vX = (k/√(vA ・ vA)) va + b * vb + c * vc = (k/(vA・vA)) vA + b * vb + c* vc (b, cは任意）
となる。ここで、vc = vb ×vaであったが、さらに計算するとvb = -vc ×vaとなることに注意。すると
b * vb + c * vc = b * (-vc ×va) + c * (vb ×va) = (-b * vc + c * vb) ×va = (1/√(vA ・ vA)) (-b * vc + c * vb) ×vAであって、
vC = (1/√(vA ・ vA)) (-b * vc + c * vb)とおけば、vX = (k/(vA・vA)) vA + vC×vAの形となることが分かる。

10の方は一先ず自分でやってみてください。一先ずvA×vX = vBの時、vA・vB = vA×(vA×vX) = 0だから、vA・vB が「必要」なことは分かる。この時、問題のvXの式の時、確かにvA×vX = vBとなることは計算で分かるから、vA×vX = vBが解を持つ必要十分条件が、vA・vB = 0であることはこの段階で分かる。

逆にvA・vB = 0の条件の中で、vXが問題の式の形でないといけないことは、9と同様、vAの方向、vBの方向、vA×vBの方向で長さが1の3つのベクトルを正規直交基底に取り、9と同様の議論をせよ。

回答No.1

tmppassenger

どこまで考えて、どこから分からない状態なのか、補足に書いてもらえますか？

補足

9は [X ＝ kA/A・A] が、10は [X ＝ B × A/A・A] が与えられた方程式を満たすところまでは分かったのですが、その後どのように証明するか分からないでいる状態です。