３重積分

質問

I=∭_D〖xyz xdxdydz ,〗 D={0≤x≤1,0≤y≤1-x,0≤z≤2-y}
解き方と回答が知りたいです。

回答No.2

info33

Iz=∫[0,2-y] zdz=(2-y)^2/2 ,
Iy=∫[0,1-x] y Iz dy=∫[0,1-x] y(2-y)^2/2 dy=(1/2)(x^4/4+x^3/3 -x^2/2 -x+11/12) ,
I=∫[0,1] x^2 Iy dx=(1/2) ∫[0,1] x^2(x^4/4+x^3/3 -x^2/2 -x+11/12) dx ,
=(1/2) [x^7/28+x^6/18 -x^5/10 -x^4/4+11x^3/36] [0,1]
=59/2520 ... (答え)

回答No.1

phosphole

ｚの範囲にｙが、ｙの範囲にｚが入っているので、順繰りに積分します。
まずｚについては被積分関数が
z
なので、不定積分は
1/2z^2
となります。積分範囲 0 ~ 2-yを入れると、
1/2 (2-y)^2
となります。

次にｙについてですが、被積分関数からｙの部分を取り出すと、
y * {1/2 (2-y)^2}
となります。
これを開くと
1/2 * {y^3 - 4y^2 + 4y}
となるので、これの不定積分は
1/2*{1/4 y^4 - 4/3 y^3 + 2y^2}
となります。これに積分範囲0~1-xを入れます。
最後にｘについて同様の操作を行なって下さい。
なかなか面倒です。

お礼

ご丁寧にありがとうございます