重積分

質問

I＝∬[Ｄ］（x^2 + y^2)^(-α/2) dxdy（α＞０）
Ｄ＝{(x,y)| (x,y)≠(0,0) , x^2+y^2 ≦ a^2}(a≧１、定数）
Iが収束するようなαの範囲を示し、そのときのＩの値を求めなさい。
と与えられています。

極座標変換を用いて解こうと思うのですが、
0＜r≦α　, 0≦θ≦2π
とおくと、全てのαで収束すると思うのですが、どうなんでしょうか？（定積分となり値が出る？）

特にθの範囲についておねがいします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> 全てのαで収束すると思うのですが、どうなんでしょうか？

(0,0) は積分範囲から除いてありますが，
(0,0)に近づくにつれ被積分関数はどんどん大きくなります(発散)．
発散の度合いはαが大きいほど強い．
したがって，αがある程度以上大きくなると積分が発散するだろうと言うことは
予測できるでしょう．
もちろん，被積分関数の発散条件とそれを積分したものの発散条件とは
同じではありません．
発散がない被積分関数を有限区間で積分しても発散するはずはありませんが
(被積分関数の最大値×積分領域の面積，で上限が押さえられる)，
被積分関数が発散しても積分が発散するとは限りませんから
(∫{0～1} (1/√x) dx など考えてみれば明らかでしょう)．

極座標に直せば，
(1)　　(x^2 + y^2)^(-α/2)　==>　r^(-α)
(2)　　dxdy　==>　r dr dθ
で，θについては積分範囲が0≦θ≦2π，
r については
(3)　　lim_{δ→0} ∫{δ～a} (被積分関数) dr
と見なすべきでしょう．
θの積分は単に因子 2π を与えるだけですので，結局
(4)　　I = 2π lim_{δ→0}∫{δ～a} r^(-α+1) dr
を調べればよいことになります．
あとは簡単ですからお任せします．

お礼

回答どうもありがとうございました。
『0＜r≦a』 この部分を落としていました。
~~~~~
不等号にも注意して行きたいと思います。
またよろしくおねがいしますm( _ _ )m