3重積分について

質問

∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3　領域D:{x^2 + y^2 + z^2≦a^2, a>0}という問題で、解が(3πa^4)/2になるはずなのですが、極座標に変換する段階でいまいち分かりません。自分なりにやると、

x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ (0≦r≦a, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π)として、ヤコビアンがr^2 sinθになり、
∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3
=∫[0→2π]dφ∫[0→π]dθ∫[0→a]dr (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ)

このようになるのですが、自分がこれを解いていくと違った解になり、正解にたどり着きません。この変換が間違っているのでしょうか？単に途中の計算が間違っているのでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

>∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3
>=∫[0→2π]dφ∫[0→π]dθ∫[0→a]dr (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ)

対称性を利用して
∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3
=8*∫[0→π/2]∫[0→π/2]∫[0→a] (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ)drdθdφ
で，やってみてください。

お礼

教えていただいた通りに解いてみたら無事に正解にたどり着きました。
対称性を利用すれば良かったんですね。もっと広い視野で問題を捉えられるようにしていきたいと思います。
ありがとうございました。