重積分

質問

複素数平面においてP=y^3、Q=x^3、D={z||z|＜1}とする
∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy
=3∫∫D (x^2 - y^2)dxdy
を求めたいのですが求め方を教えてください

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の補足の積分領域の訂正について

>積分領域はDではなく￢D＝D∪∂Dでした
この表現の意味が分かりません。
積分領域をx,yを使って表現するとどうなりますか？
領域はXY座標平面に図示して頂いてもOKです。

回答者が理解可能な書き方でお書き下さい。

回答No.1

info22_

D={z||z|＜1}={(x,y)|x^2+y^2<1} より
3∫∫D (x^2 -y^2)dxdy
対称性から
=4*3∫∫{x^2+y^2<1,x≧0,y≧0}(x^2 -y^2)dxdy
x=rcos(t),y=rsin(t) (0≦r<1,0<t<π/2)とおいて置換積分
=12∫[t:0→π/2]dt∫[r:0→1)] r^2(cos^2(t) -sin^2(t)) rdr
=12∫[t:0→π/2]cos(2t)dt∫[r:0→1)] r^3 dr
=12∫[t:0→π/2]cos(2t)dt*(1/4)
=0

補足

すみません、積分領域はDではなく￢D＝D∪∂Dでした
本当にすみません