重積分

質問

重積分
∫∫∫log(a*sqrt(x^2+4y^2+9z^2))dxdydz
D={(x,y,z)| 1<x^2+4y^2+9z^2<4} (a>0)

この問題をどう進めていいのかわかりません。解答の導出法の解説をお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

次のように変数変換をしてはいかがでしょうか。

　　X=x, Y=2y, Z=3z　(dX=dx,dY=2dy,dZ=3dz)

　　直交座標系(X,Y,Z) → 極座標系(R,Φ,Θ)

　∴√(x^2+4y^2+9z^2)=√(X^2+Y^2+Z^2)= R

　こうすれば、積分領域Dも次のように簡単に表せます。
　　D'={(X,Y,Z)| 1<X^2+Y^2+Z^2<4} ={(R,Φ,Θ)| 1<R<2}

　従って、求める重積分は次のように変数分離できます。

　　(1/6)∫[R:1→2]R^2 log(a/R)dR ∫[Φ:0→2π]dΦ ∫[Θ:0→π] sinΘdΘ
　＝(1/6)[R^3 {3log(a/R)+1}/9][R:1→2]×2π×2
　＝(2π/27) {21 log(a)-24 log(2)+7}　　（かな？）

お礼

お礼が遅くなりました。ありがとうございました！