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3重積分

∫∫∫ {y/√(x^2+y^2)}dxdydz 積分範囲 D: x^2+y^2+z^2≦4 x^2+y^2≦1 y≧0 この問題を円柱座標に変換して解くと (8-3√3)×4/3 となりました。 球座標変換をして解く方法を教えてください

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  • info222_
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回答No.1

I=∫∫∫ [D]{y/√(x^2+y^2)}dxdydz 球座標変換すると =∫∫∫ [D] rsinθsinφ/(rsinθ)*|J|drdφdθ =∫∫∫ [D] rsinθsinφ/(rsinθ)*r^2sinθdrdφdθ =∫∫∫ [D] r^2sinθsinφdrdφdθ [D]の対称性から =4∫∫∫ [D’] r^2sinθsinφdrdφdθ, D:{(r,φ,θ,)|0≦r≦1/sinθ,0≦φ≦π/2,0≦θ≦π/2} =4∫[0≦φ≦π/2]sinφdφ {∫[π/6≦θ≦π/2] sinθdθ∫[0≦r≦1/sinθ] r^2dr+∫[0≦θ≦π/6]sinθdθ∫[0≦r≦2] r^2dr} =4{∫[π/6≦θ≦π/2] (1/3)1/(sinθ)^2dθ+(8/3)∫[0≦θ≦π/6]sinθdθ} =(4/3){[-cotθ][π/6≦θ≦π/2] +8([-cosθ][0≦θ≦π/6])} =(4/3){√3+8(1-(√3)/2))} =4(8-3√3)/3 ←(球座標を使った積分の答え) 円柱座標の積分の答えと一致しましたね!

wa-21-mi
質問者

お礼

とっても分かりやすかったです 半径2の球と半径1の円柱の共有部分の体積なんですね! 領域を0≦θ≦π/6,π/6≦θ≦π/2 に分けて考えることが分かりました。 ありがとうございます

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