整数環 ０×∞ 再び
以下において、数はすべて整数とします。
整数環の規則に従って計算する時、
問題１：この式は正しいですか？
1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞
Σ[k=1,∞]1 + 1 = ∞
□私の考え
Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ...
であり、εδを使って表すなら
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)
により、「任意の整数より大きな値となる」ことが示されます。
このことを
Σ[k=1,∞]1 = ∞
などと表します。（通常の等式でないことに注意）
問題１の式は、いずれもこれに 1 を加えたものなので、これより小さくはありません。
よって、「任意の整数より大きな値となる」ことが示されます。
問題２：この式は正しいですか？
0 × Σ[k=1,∞]1 = 0
□私の考え
乗法は
a × b = Σ[k=1,b]a
で定義されています。ただし、b = 0 ならば
a × 0 = 0
です。（aとbを逆にする考え方もある）
たとえば
2 × 3 = Σ[k=1,3]2 = 2 + 2 + 2 = 6
になります。
任意の正数xにおいて
Σ[k=1,x]1 = x
であるから、問題２の式は
0 × Σ[k=1,∞]1 = Σ[l=1,Σ[k=1,∞]1]0 = Σ[l=1,∞]0 = 0 + 0 + 0 + ... = 0
となります。εδを使って表すなら
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[l=1,Σ[k=1,x]1]0|<ε)
により、0 であることが示されます。
あるいは、分配法則を使うことで、直接
0 × (1 + 1 + 1 + ...) = 0 + 0 + 0 + ... = 0
を示すことができます。
なお、∞を新たな元と考えた場合については、「自然数 ０×∞ 集合を使って」
http://okwave.jp/qa/q8531927.html
で示した通りです。ここでは、その考えは取りません。
お礼
回答ありがとうございます。ちょっと腑に落ちないところがあるので改めて質問させていただきます。