無限積の極限

質問

lim[n→∞]{(1+(1/n))(1+(2/n))…(1+(kn/n)}　　 kは正の整数
相加・相乗平均より
(1+(1/n))(1+(2/n))…(1+(n/n)≦(1/n){(1+(1/n))+(1+(2/n))+…+(1+(n/n)}
=(1/n)[n+{(n(n+1)/2}/n]
=(3n+1)/2n
同様に(1+(n+1)/n)(1+(n+2)/n)…(1+(n+n)/n)≦(5n+1)/2n
…
(1+((k-1)n+1)/n)(1+((k-1)n+2)/n)…(1+((k-1))n+n)/n)≦((2k+1)n+1)/2n
与式＝lim[n→∞][{(3n+1)/2n}…{((2k+1)n+1)/2n}]
ロピタルの定理を使って
=(3/2)(5/2)…{(2k+1)/2}
=Π[n=1→k]{(2k+1)/(2^k)}
なんか変です・・・。間違っているところご指摘ください。

（　　）がぐちゃぐちゃしてすみません。

回答No.4

PRFRD · ベストアンサー

No. 2 に転記したこの式自体は正しいです．実際
　[（1+(1/n)) ... (1+(n/n))]^{1/n} ≦ (3n+1)/(2n)
と，相加相乗平均によって左辺の n 乗根が，右辺の 1/n 倍に化けています．
つまり，相加相乗平均不等式で得られる上界は，発散します．

さて，その極限の値を求めるには，No. 2 で書いたとおり
log を取って区分求積に持ち込むのが定跡です．具体的には，
　F = [ (1+1/n) (1+2/n) ... (1+(kn)/n) ]^{1/n}
とおき，両辺の log を取ると
　log F = 1/n [ log(1+1/n) + ... + log(1+(kn)/n) ]
となります．右辺は log(1+x) を x = 0 から x = k まで
1/n 刻みで区分求積した形になっているので，両辺で n → ∞ とすれば
　lim log F = ∫[0,k] log(1+x) dx = -k + (1+k) log(1+k)
となります．log と lim を入れ替え，両辺の log をはずすと
　lim F = exp(-k) (1+k)^{1+k}
となります．これが求めるべき極限です．

お礼

ありがとうございました。相加相乗平均不等式では、その値より小さいということしか分からないのですね。区分求積法にはまったく気づきませんでした。n乗根の形なので、対数をとるというのは自然な発想なんですね。すっきりしました。

回答No.3

Tacosan

「極限なので等号が成り立つのかと思いました」って, 何が根拠にあるんでしょうか?
6^(1/3) = (1^n 2^n 3^n)^(1/3n) = (1/3n)(1×n + 2×n + 3×n) = 2
はおかしいよね.

補足

（a1・a2・…・an）のn乗根≦（a1+a2+…+an）/n　で等号が成り立つのは
a1=a2=…=anのときですから
例えば [{1+(1/n)}{1+(2/n)}…{1+(n/n)}]^(1/n)
≦(1/n)[{1+(1/n)}+…+{1+(n/n)}]
等号は　1+(1/n)=1+(2/n)=…のとき。
n→∞で考えて、これらは１になって…ませんね。すみません。
結局　lim[n→∞] [{1+(1/n)}{1+(2/n)}…{1+(kn/n)}]^(1/n)はどうなるんでしょうか？

回答No.2

PRFRD

> 与式＝lim[n→∞][{(3n+1)/2n}…{((2k+1)n+1)/2n}]
ここの等号がダメです．

相加相乗平均不等式は，あくまで不等式なので，
　与式 ≦ lim[n→∞][{(3n+1)/2n}…{((2k+1)n+1)/2n}]
となります．右辺は ∞ に発散するので，結局
　与式 ≦ ∞
という，とても正しい結果が出てきます．

ちなみに，その極限を求めるだけなら，
log を取って区分求積の形に持ち込むのが定跡だと思います．

補足

ありがとうございます。表記が難しいのですが、最初の問題は間違いです。
lim[n→∞][(1+(1/n))(1+(2/n))…(1+(kn/n)^(1/n)
なので、無限積のn乗根の極限です
根号の中は発散しますが、そのn乗根はとなると違いますよね？
途中の式も　^(1/n)　を付け忘れています。
極限なので等号が成り立つのかと思いましたが・・・。

回答No.1

Sabo-Hani

まず相加相乗からおかしいです

(1+(1/n))(1+(2/n))・・(1+(kn/n)
>
1+(1/n)+(2/n)+・・+(kn/n)
=1+(1/n)(kn(kn+1)/2)
→∞
くらいで十分かと

補足

大変失礼しました！
lim[n→∞]{(1+(1/n))(1+(2/n))…(1+(kn/n)}^(1/n)　　 kは正の整数

でした。指数がなければご指摘の通りかと・・・。