２つの数列に共通する項の数列

質問

a［n］＝3n＋2（n＝1、2、…）
の項のうち、８の倍数のものを小さい順に並べた数列c［n］の一般項を求めたいです。

私は初め、a［n］の第k項が８の倍数の数列b［n］＝8nの第l項になるとして8l＝3k＋2、変形して
2（4l－1）＝3k…［＊］からk＝2n（n＝1、2、…）と書けるから、c［n］＝a［k］＝…としようとしましたが、k＝2nとしたら［＊］に代入したらl＝（3n＋2）/4となり、必ず［＊］を満たす整数の組（k、l）が存在するとは言えず、誤りでした。

一方8l＝3k＋2の変形の仕方を変えて、8（l－1）＝3（k－2）とし、l－1＝3n（つまりl＝3n＋1）とすると、k＝8n＋2は必ず整数になり、代入したらc［n］＝a［k］＝b［l］＝8（3n＋1）＝24n＋8となって、一応（８が抜けてますが…）式はでます。

前のやり方がどうしてよくない変形だったのか分かりません。l＝（3n＋2）/4が整数になるnをまた再び求めればいいのでしょうが、これだとはじめとやってることが変わりません（無限ループ？）
長文ですがどうか教えてください。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

8l＝3k＋2 からでもいける. [*] から (2 と 3 は互いに素なので)
・k は偶数
なんだけど, 同時に
・4l-1 は 3 の倍数
ということもわかる. つまり「l-1 が 3 の倍数」であることに気づけば終わり.

この辺は (整数を解とする) 不定方程式が分かっていれば難しくないはず. とはいえ高校まではやらないような気もするなぁ.

お礼

うう…条件が２つ読みとれるんですね…勉強不足です…ありがとうございます。

回答No.4

noname#157574

もっと簡単に求めよう。a[1]=5は8の倍数でなく，a[2]=8は8の倍数である。
ここで，3と8の最小公倍数は24であるから，c[1]=a[2]=8，c[2]=8+24=32
よってc[n]=24n-16

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

f272

どちらも
2つの整数の積=2つの整数の積
にしているのに，片方はうまくいってもう片方はうまくいかない。
どこに違いがあるかといえば
2（4l－1）＝3k ...........(1)
8（l－1）＝3（k－2） .....(2)
(1)の方の左辺が4l-1となっていて，4l-1は4つおきの数値しか取ることができません。これでは，まだまだ式の解析が甘いなあということですね。
その他のk,l-1,k-2はそれぞれの文字に掛かっている係数が1ですから飛び飛びにならないのです。

お礼

飛び飛びになることを気にもしてませんでした。ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

まず、いくつか具体的にあてはめて c[n]の初項は求めておきたいですね。
8が初項になりますね。

そのあとですが、
8の倍数になるということは「（次の8の倍数までの）間隔が 8の倍数」
になっていないといけませんね。
式で表せば
(3m+ 2)- (3n+ 2)＝ 8L

ということです。

これを少し変形すれば、
a[n]の nについて何個おきに 8の倍数が現れるかがわかるはずです。

お礼

ありがとうございます。分かりやすいのでしっかり理解しておきます!