ルベーグ積分特有のテクニック

質問

大学でルベーグ積分を1年間勉強したのですが、積分できる関数のクラスがリーマン積分より広がっただけで、実際に積分するのに新しい置換方法などのテクニックを知ったわけでもなく、複素解析で「こんな関数の積分もできるんだ」というような驚きを感じませんでした。
リーマン積分が縦切り、ルベーグ積分は横切りで、という話もありますが、その横切りを直接計算するテクニックもなく・・・・。
結局何がしたいのでしょうか？　何につかえるのでしょうか？　ルベーグ積分特有のテクニックってあるんでしょうか？

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

--大学でルベーグ積分を1年間勉強したのですが--
--ルベーグ積分特有のテクニックってあるんでしょうか？--
「ルベグ積分」の履修者(!?)から↑の様な事を質問して来るとは想いも依らなかった・・!

質問者の通う大学で、リーマン積分の不都合とルベグ積分ではその不都合を回避出来る様な考え方や幾つかの定理を1年かけて学ばれて来た筈ではと思うのだが・・!??
(勿論リーマン積分可能でルベグ積分出来ない(絶対可積性の仮定という足枷の為)というのもあるだろうが・・)

小生、工学部出で数学専攻者ではないが、ルベグ積分は利用価値が多分にあると思っているので時間を見つけて(独習の形で!)学びを続けている・・!

1年間の講義でまだ理解に至っていない箇所は後を引いてしまう事になるため(数学専攻者ならば当たり前だと思うのだが・・)質問者ご自身で補充しておくべき事柄だと思うのだが・・!?

質問の仕方(聞き方)が誤解を招く様な言い回しでは小生の様なひねくれ者だと聞き返してくることだってある・・!

お礼

回答いただけてありがとうございます。

回答No.2

ddtddtddt

自分も#1さんと同じ工学系なのですが、少し違う意見を持ってます。工学系というか工学系の仕事に就いてまして、わざわざ数学科に出かけて行ってルベーグ積分の講義を半年聞いたという、変態です(^^;)。

　最初に言いますが、積分できる関数のクラス（可測の意味と判断します）がリーマン積分とルベーグ積分で同じでも、自分はかまわないと思っています。ルベーグ積分がやりたかったのは、そういう事ではないと。
　リーマン積分とルベーグ積分でも同じだと思うのですが、積分の基本は、disjointな集合全体の測度は、各集合の測度の和である事だと思います。これは常識的には当然な考えですが、ところが集合があまりに一般的になると、この当然の性質が成り立たなくなって来る。そこで「その限界はどこなのさ？」という事を見極めようとしたのが、ルベーグ積分論の目的だと自分は思います。

　カラテオドリの外測度の定義や、その結果であるσ加法族の定義。当然の性質が成り立つであろう一つの限界としてのσ加法族としての、ボレル集合。そういうのを見ると、そう思えます。

　リーマン積分は、普通の関数（例えば、区分的な連続関数）が可測である事を言っただけです。その限界については何も言っていません。という事は、普通と思える関数の中にも、可測でないものがあるかも知れないですよね？。
　ところがルベーグ積分により、工学野郎は安心して「普通の関数に対しては区分求積」をやれば良い、という保証が与えられたわけです(^^)。

　以上は勝手な思い込みです。数学科は、そういう問題意識を持ち、そういう保証を与えるところだと勝手に思っています。だから積分できる関数のクラスがリーマン積分とルベーグ積分で同じでも、自分はかまわないです。

　ルベーグ積分はリーマン積分への保証を与えたのだと。

お礼

回答いただけてありがとうございます。