ルベーグ積分について教えて下さい。

質問

ルベーグ積分はリーマン積分とは異なり、横方向にグラフをスライスし、その和をとることで行う積分ですが、
いろいろな書籍を見たところ、ディリクレ関数などリーマン積分出来ない関数に関しては計算が載っているのですが、
リーマン積分可能な関数に関しては見かけたことがありません。

例えば
y=x^2を-10～+10
までルベーグ積分しようと思ったらどうすれば良いのでしょうか？
一応、私の中で回答はあるのですが、極めて面倒くさいので本当かどうか分かりませんのでどなたか教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

リーマン積分可能ならば、
ルベーグ積分も可能で、
その値は一致する。

…という基本的な定理を
掲示板上で手短に説明する方法が、
貴方の中に有るのなら、
是非、補足に書いてください。

結論は、簡潔この上ないのですが、
証明は、極めて面倒くさいです。

回答No.2

ojisan7

>リーマン積分可能な関数に関しては見かけたことがありません。
そうでしょうね。それは当然のことです。No1さんのおっしゃる通り、狭義リーマン積分可能ならば、ルベーグ積分可能であり両者の積分値は一致します。この証明はどの教科書にも書かれています。

>例えばy=x^2を-10～+10までルベーグ積分しようと思ったらどうすれば良いのでしょうか？
上記の定理があるのにわざわざルベーグ積分ですか？この問題を解くにはどこまで戻って解けばよいのでしょうか。結局は上記の定理を証明することに帰着するならば、意味がありませんね。

ともかく、与えられた関数は、偶関数であることと、０～１０まで単調増加ですから、上極限、下極限となる２種類の関数列（可測関数の）を考えることは容易です。あとは、Fatouの補題とか、収束定理ですね。

>一応、私の中で回答はあるのですが、極めて面倒くさいので本当かどうか分かりません
その回答を示して下さい。