リーマン積分

質問

不連続点が高々可算個しかない有界な関数は有界区間[a,b]上でリーマン積分可能ですが、不連続点が連続濃度（ただしもちろんルベーグ測度0）を持つ集合で不連続な場合[a,b]上でリーマン積分不可能な例というのはありますか？もしご存知あればできるだけ簡単な例を知りたいのですが。

それとも零集合上だけで不連続となる有界な[a,b]上の関数はいつでもリーマン積分できるのでしょうか？

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

積分論は専門ではありませんが、不連続点が零集合で有界であれば、リーマン積分可能と思います。
証明はそれほど難しくありません。
リーマン積分は[a,b]を多くの区間に細分し、その区間でのｆの最大値、最小値と区間の幅をかけて足したものの極限値（区間を無限に細かくしたときの）です。
不連続点を含まない区間については問題ありません。
不連続点を含む区間の長さの合計は、零集合の定義から、区間を無限に細かくしていくと0に収束するはずで、無視することができます。
よって、リーマン積分は収束します。
きちんとした証明はご自分でお考えください。

お礼

ルベーグ零集合というのはある種完備化されているので、どうかと思っていたのですが、ルベーグ測度の完全性からやはり零集合を含む区間の長さの合計がいくらでも小さくなるようにできるのですね。ということはやはりコンパクト集合上の有界な関数がリーマン可積分であるための必要十分条件は不連続点がルベーグ測度0になること、が言えたことになりそうです。どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#108554

なるほど、では、
[0,1]区間で
f(x)=1　(xはカントール集合の元)
　　=0　(otherwise)
ではどうでしょう。

お礼

どうやらリーマン可積分でしたがってルベーグ積分と値が一致して0になりそうです。

回答No.1

noname#108554

>不連続点が高々可算個しかない有界な関数は
>有界区間[a,b]上でリーマン積分可能ですが、

反例:
[0,1]区間で
f(x)=1　(xは有理数)
　　=0　(xは無理数)
はリーマン積分不可能です。

>不連続点が連続濃度（ただしもちろんルベーグ測度0）を
>持つ集合で不連続な場合[a,b]上でリーマン積分不可能な例

悪魔の階段かな？よく分からんけど。
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java99/akuma.html

お礼

コメントありがとうございます。

[0,1]区間で
f(x)=1　(xは有理数)
　　=0　(xは無理数)
はリーマン積分不可能です。

は確かにリーマン積分できないのですが、無理点でも不連続になっているのでこの関数は至る所不連続です。あと悪魔の階段（カントール関数）は単調な連続関数でリーマン積分できます。

よくよく考えてみるとこれは難しい問題のような気がしてきました。