複素積分・・・

質問

過去ログもみましたがわかりませんでした。
複素積分を解く場合の道筋などを教えていただけないでしょうか？
講義で時間が足りなくて円積分が0になる程度を板書して
定理すらやっていないのに
その先生の過去問には過去5年間複素積分が出題されていて
今非常に困っています。教科書をみてもわからなく・・・
コツや考え方などを教えていただきたいです。
問題としては
区間は-∞～+∞で1/x二乗+2dxの実積分の値を
複素積分を使って計算せよ。
という問題を考えています。

回答No.2

kokkoro

すみません、間違えました。被積分関数の因数分解のところ、それぞれ(z+2i)(z-2i)でなく(z+√2i)(z-√2i)でしたね。あとも全部同じです。失礼しました。

よく考えると、このご質問は＜注意＞のところにでてくるメッセージに該当するものかもしれないですね。

回答No.1

kokkoro

教科書にはそういった類の積分は一応載っていると思うので一応探してみてください。考え方の１例を紹介します。

実軸上の区間[-R,R]（負→正の向き）の上での積分、と、Rから-Rにいたる半円（ここでは「実軸の上側」に広がる半円を考えてみてください）の上での積分、を考えます。両方をつなげると、積分経路はかまぼこ型になります。

そして、被積分関数f(x)は1/(x^2+2)ですが、今複素平面上での積分を考えるのでf(z)としておきますが、これは1/(z-2i)(z+2i)とできます（因数分解）。そして、この被積分関数の極は2iと-2iとなりますが、このうち2iの方だけが積分経路となるかまぼこ型の閉曲線に囲まれています。ので、留数定理から、この積分の値は、2πi×Res(2i,f(z))となります。Res(2i,f(z))は１位の極の留数ですが、この求め方は本に必ず載っていると思います。

で、実軸上の区間[-R,R]上ではz=xより、積分は∫f(x)dx（←うまく出るかな？要はf(x)にかんする積分です。）の形であらわされます、ので、R→∞にもっていけば求める積分が出そうです。ということで、あとは、Rから-Rにいたる上半円での積分の値が、R→∞のときに０にいくことを確認すればいいわけです。この評価の方法も本に出ていると思うので探してみてください。