円周率πを知らなくても円の面積は積分で算出できる？

質問

三角関数や置換積分を知っているひとが、円の面積を計算するにあたってラジアンを自分で考えだせる可能性もあるでしょうか。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

置換積分でｘ＝ｒSinθと置き換えた時に，積分区間でπが出てきます。出てくる根拠は，Sin(π/2)＝１からです。そして，この弧度法による角の大きさの表し方（単位はラジアン）は，円周率がもとになります。円周率を意識するかどうかは別にしても円周率との関係は切れないでしょう。

お礼

歴史的にはπのほうが先に見つかったのかとも思いますが、置換積分で半角の公式の中にπが三角関数から外へ出てくる要因があるように思います。cos＾2θ　＝(1+cos2θ)/2で右辺の１のおかげで面積にπが出てくるのかと思いました。

回答No.3

178-tall

円周率π (の数値) を知らなくても面積を「積分で算出できる？」 … という疑問でしょうか。
それが可能か否かは知りません。
円周率π (の数値) を勘定する手なら、いろいろある模様。

単純な一例。
sin(π/2) = 1 から arcsin(1) = π/2 を求める。
　LIM { sin(x)/x } = 1
　x→0
なることを利用し、sin の分角公式で勘定。
　　↓
参考 URL / ヴィエトの無限積の公式

参考URL：

https://mathtrain.jp/viete

お礼

ご紹介の記事をさっそく読ませていただきます。

回答No.1

hue2011

別に面積は普通の積分で簡単に出せると思いますが、なぜラジアンを自分で考えだす必要がありますか。そのふたつは別のことでしょう。

ま、とはいえ、ラジアンに当たる単位というのは角度の単位ですけど、そんなものを思いつくのは誰でもするんじゃないでしょうか。統一的な単位にするためにどういう分母を考えるかで、ラジアンにもなると思います。

お礼

三角関数を知っていればπは自然に出てくるものでしょうか。