コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

質問

コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

上のＨＰのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。

中ほどのルートを外すところですが、

実際は
http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7%94%bb%e5%83%8f%e3%82%b3%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%bc.png

(a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB

のように分子に絶対値が付くと思うのですが。

しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると

Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2
となり、

コーシー・シュワルツの不等式式より厳しい不等式が出てきます。

どこかが間違えてると思うのですが、どこだか分かりません。

どなたか問題点が分かりましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

>(a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB　のように分子に絶対値が付くと思うのですが。
>しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると
>Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2　となり、 .....
　　　↓
|(a_i)(b_i)|≧(a_i)(b_i) だから、
　　Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2≧{Σ[i=1→n](a_i)(b_i)}^2
となるのでしょう。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

なぜかシュワルツの不等式よりも評価の厳しい不等式が出てくるはずはない、という変な思い込みがありました。

納得できました。どうもありがとうございました。