コーシーシュワルツの不等式の問題

質問

a＞0、b＞0、c＞0、d＞0のとき
(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ

コーシーシュワルツの不等式を使うのですがどうやるのでしょうか？教えてください

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞a＞0、b＞0、c＞0、d＞0のとき
＞(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ
コーシーシュワルツの不等式
（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2＋ａ4^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋ｂ3^2＋ｂ4^2）
　　　≧（ａ1ｂ1＋ａ2ｂ2＋ａ3ｂ3＋ａ4ｂ4）^2より、
ａ1＝√1/a，ａ2＝√1/b，ａ3＝√4/c，ａ4＝√4/d，
ｂ1＝√ａ，ｂ2＝√ｂ，ｂ3＝√ｃ，ｂ4＝√ｄとおくと、
｛(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)｝(a+b+c+d)
　　≧（√1/a・√ａ＋√1/b・√ｂ＋√4/c・√ｃ＋√4/d・√ｄ）^2
右辺＝（１＋１＋√４＋√４）^2
＝（１＋１＋２＋２）^2
＝６^2
＝３６
よって、｛(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)｝(a+b+c+d)≧３６
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＞０だから、両辺を割って、
(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つ

どうでしょうか？

お礼

よく分かりました ありがとうございました