不等式の証明

質問

例えば
|a|＋|b|≧|a＋b|
の問題で、答えは2(|ab|-ab)となるのがわかるのですが、
とき方の疑問をもったのでおしえてください。
どうして、この問題を解くときに
(左辺）＾2ー（右辺）＾2≧0
という形にするのでしょうか？
そして、|ab|≧abもなぜつかうのでしょうか？
そして、|ab|≧abがどうしてこのような形であらわされるのでしょうか？

お願いします

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。
＃１です。

＞参考書に(左辺）＾2ー（右辺）＾2≧0
という形にすると証明ができると書いてあったので、使いました。
でも、どうしてこのような形にするのでしょうか？

これはですね、右辺が０以上だから、このように変形できるんですね。

|a|＋|b|≧|a＋b| ≧０
ですよね？
ということは、それそれ２乗したものの大小関係だって
(|a|+|b|)^2≧(|a+b|)^2≧0・・・（☆）
となっているはずですね。

（☆）の式をちょっと変えて
(|a|+|b|)^2-(|a+b|)^2≧0
を言えばいいことになります。

＞変な質問ですいません

いえいえ、そんなことないですよ。
その「なんでだろう」と思う気持ちが、数学の理解を深めてくれると思います。
頑張ってください！

回答No.2

i536

x,y≧0の場合、次の同値関係(1)が成立します。

x≧ｙ⇔x^2≧y^2---(1)

したがって、x,y≧0の場合、x≧ｙを証明することと、
x^2≧y^2を証明することとは同じ(同値)です。

|a|＋|b|≧0、|a＋b|≧0ですから、上の同値関係(1)が利用できます。したがって、
|a|＋|b|≧|a＋b| を証明することを、(|a|＋|b|)^2≧(|a＋b|)^2を証明することで済ますことができます。
|a|＋|b|≧|a＋b|を直接証明するよりも、(|a|＋|b|)^2≧(|a＋b|)^2を証明する方が楽なので
ご質問のように証明しているだけです。

回答No.1

fushigichan

boku115さん、こんにちは。

＞|a|＋|b|≧|a＋b|
の問題で、答えは2(|ab|-ab)となるのがわかるのですが、
とき方の疑問をもったのでおしえてください。
どうして、この問題を解くときに
(左辺）＾2ー（右辺）＾2≧0
という形にするのでしょうか？
そして、|ab|≧abもなぜつかうのでしょうか？

まず、２乗するのは、おっしゃるように

(|a|+|b|)^2=a^2+b^2+2|a||b|=a^2+2|ab|+b^2
(|a+b|)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
となることから、
|ab|≧ab　・・・・・（★）
を結局言えばいいので、（★）の形を導くために２乗した、といえます。

では、何故（★）のことがいえるのか。
|ab|=|a||b|ですが
|a|≧a
|b|≧b
これはいいでしょうか。

a≧0のとき、|a|=a
a<0のとき、|a|=-a
ですから、|a|≧a
となるからです。
同じように|b|≧b
です。
これは、a,bに色々な数字を当てはめて考えてみてください。

これから、
|a||b|≧ab
が出ます。なので
|ab|=|a||b|≧ab
がいえるのですね。

参考URL：

http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/NumberTheory2/node16.html

補足

参考書に(左辺）＾2ー（右辺）＾2≧0
という形にすると証明ができると書いてあったので、使いました。
でも、どうしてこのような形にするのでしょうか？

変な質問ですいません