中学受験算数

質問

添付のXの角度を求める問題なんですが、情けないですが子供に尋ねられても説明できません。申し訳ありませんが解き方をご教示いただけませんでしょうか？
小学生にわかるようにお願いいたします。

回答No.2

caf-caf · ベストアンサー

マウスで書いた補助線や数字なので、わかりにくかったらすみません。

正方形の中の三角形に、直角三角形を作る補助線（赤い直線）を引けば、あとは簡単に計算できます。

補助線を引けば、両側の三角形は合同です。

四角形の内角の和＝３６０度
三角形の内角の和＝１８０度

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.8

上野 尚人（@uenotakato）

図のように、正方形をABCD、その内部につくった三角形をAEFとします。
辺CD上に点Gをとり、∠DAG=15°となるようにします。
△ABE≡△ADGよりAE=AGです。また∠EAG=60°なので△AEGは正三角形です。

※進んだ幾何の知識を使ってよければ、この時点で「∠AEG=∠AFG=60°より四角形AEFGは円に内接するので、円周角の相等より∠AFE=∠AGE=60°」が得られます。
以下はその知識を使わない解答を続けます。

△HFG∽△HEAが得られます。
（∠HFG=∠HEA=60°、∠FHG=∠EHAより）
よってHF:HG=HE:HAが得られ、
△HFE∽△HGAとわかります。
（角H共通、Hをはさむ二辺の比の相等より）
よって∠HFE=∠HGA=60°、が答です。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.7

staratras

No.5です。少し回り道をしていました。折り返した図形（対称な図形を付け加えた形）を考えれば、下の図で青く塗った三角形は、底角(等しい角）が30度の二等辺三角形であることは明らかですから、頂角は180-(30×2)=120　120度で、求める角Xは、180-120=60　60度です。

あれ、15度という条件を使っていませんね。この条件は要らないのか？いえいえそうではないですね。30度という条件だけでは、下の図でBの位置が決まるだけです。上の解き方が正しいのはA、B、Cが同じ一直線上にあるからで、それは15度という条件からABの延長線上にCの位置が決まるからです。No.5の回答にもそのことを言っておく必要がありました。失礼しました。

左下の正方形の頂点Dから15度の線を引いた線と正方形の辺の交点がABの延長線と正方形の辺の交点と一致することは、次のように示せます。

ABの延長線と正方形の右のたての辺FGとの交点をC、正方形の頂点Dから15度の線を引いた線と正方形の辺の交点をC'とします。(この時点では両者が一致するかどうかはわかりません）

三角形ACEは、∠EAC=60°∠CEA=90°の直角三角形、つまり正三角形を2等分した形(三角定規の片方）なので、AC=2AE(正方形の1辺の2倍)です。ADも正方形の1辺の長さの2倍なので三角形ADCはAD=ACの二等辺三角形となり、∠DCA=75°です。また∠ACE=30°だから、∠GCD=180-(∠DCA+∠ACE)=75°です。ここで正方形の頂点Dから15度の線を引いた線と正方形の辺の交点をC'とすると∠GC'Dは75度で、正方形の辺FG上にあって頂点Dと頂点Gを見込む角が75度であるような点は一つしかないのでCとC’は一致します。やれやれ…、お騒がせしました。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.6

caf-caf

２の回答者です。小学生でもわかりやすい考え方を補足します。

まず、中学受験とのことで、小学算数の図形ではいくつかのポイントがあります。

１．図形の場合、辺の長さや角度などを求める定義ができている。
（例：直角＝９０度、三角形の内角の和＝１８０度…など）

２．上記１を使った計算ができるか。
（例：回答２の図の角Ｃが、３０度＋１５度＝４５度＝直角の半分なので、角ＢＣＤが４５度であることがすぐに閃くか？）

３．補助線を引いて考える問題では、いかに少ない補助線と計算式で答えを導けるか。
（例：ご質問の図形問題で、受験の際に「補助線をひきなさい」と質問に書かれても、分度器やコンパスの持込不可のケースがあります。
最初に補助線をどこに１本ひいてくるかで、子供が上記２の４５度と補助線で合同となることに気付けたかがわかるようになっている問題です。）

中学受験では、点数だけではなく、その児童の考え方をみることができる問題が多いです。
それぞれの科目で基礎が一番大事ですが、算数では閃きと応用力、国語では文章読解と想像力で子供の能力をみているので、遠まわしにならぬような解答をすることがポイントになってきます。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.5

staratras

与えられた正方形の上端の辺で折り返した図形を考えるのも一つのやり方です。
下の図で丸数字の順番に角度を求めれば、解答にたどりつけます。
なお(3)の30度から先は、いくつか方法があります。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.4

caf-caf

２の回答者です。

２の回答の合同は、３０年以上前から小５～６年の受験用ドリルでやっていたものです。
現在でも私立中学の受験に使われており、入試用の模試やドリルなどに掲載されています。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.3

tanakanono

No2の方の回答になる理由がわからないのでまじめに考えてみたところ、考える準を変えないと解けませんでした。

まず左下の点を中心として正方形の1辺を半径とする円を描きます（青）
正方形の１辺の長さをaとすると、青色の線の長さもaとなります。
この青線と円の接線（ピンク）を引きます。
オレンジの線も正方形の左の線と円の接線となりますので、
ちょうど同じ３０度で青線を引いていれば、パタッと折り返すと重なる図形になります。
つぎに、１５度を検証するため、ピンクの接線を右下方向に伸ばします（緑）
すると先ほどと同じように黄緑も接線なので、接線と接線が交わる交点から円の中心に線を引く（緑）
この線（緑）は正方形の下線と先ほど引いた青線の中心にひかれている。
９０度ー３０度（黒）－３０度（青）＝３０度
この３０度を２等分した角度が１５度となり、問題に記載の１５度と偶然一致するので、パタッと折り返せば重なる図形だとわかる。

画像一つで説明したのでわかりにくいかもしれませんが、結果ありきの問題な気がします。
三角形の左上の線が円の接線かもしれないから上記の順に確認してみたら偶然接線だったので答えがわかった。みたいな。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。

回答No.1

tanakanono

無理です。条件が足りません。
添付の黒の線と青の線の場合でXの角度が変わってしまいます。

お礼

申し訳ありません。
図は正方形です。

補足

正確さに欠けお詫び致します。