積分範囲は[0,t]、微小区間はdτの計算

質問

添付画像の(4)の一行目から二行目にする計算方法を教えて下さい。

第二項を展開しました
∮[0,t]
[-(4/3)*e^(-2t) + (4/3)*e^(2τ) + (4/3)*e^(-5t) + (4/3)*e^(5τ)]
[-(4/3)*e^(-2t) + (4/3)*e^(2τ) + (7/3)*e^(-5t) + (7/3)*e^(5τ)]
dτ

τで積分するならtの項は全部消えるはずよね？？？
…すみません、積分はいつも機械的に解いてて、正直、意味分かっていません。（分かった積もり）
今回勉強しますので教えて下さい。
お願いします。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

原始関数も記載しましたが、どのように分からないのでしょうか？
∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ .... (独立変数はτであり, tは定数扱い)
=[-(2/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/15)*e^(-5(t-τ))].....(原始関数の１つ...F(τ))
=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}...(F(t) - F(0)の計算)
=-2/5 + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)...(整理)
---------------------
※ (d/dτ)F(τ)=f(τ) として定積分、
∫[0~t]f(τ)dτ = [F(τ)] = F(ｔ) - F(0). を計算しているだけです。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
お陰様で行間を埋められました:

∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ
=∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2t+2τ) + (4/3)*e^(-5t+5τ)】dτ
=[(1/2)*{-(4/3)*e^(-2t+2τ)} + (1/5)*{(4/3)*e^(-5t+5τ)}]
=[-(2/3)*e^(-2t+2τ) + (4/15)*e^(-5t+5τ)][0,t]

={-(2/3)*e^(-2t+2(t)) + (4/15)*e^(-5t+5(t))} - {-(2/3)*e^(-2t+2(0)) + (4/15)*e^(-5t+5(0))}
={-(2/3)*e^(0) + (4/15)*e^(0)} - {-(2/3)*e^(-2t) + (4/15)*e^(-5t)}
={-(2/3)*1 + (4/15)*1} - {-(2/3)*e^(-2t) + (4/15)*e^(-5t)}
=(-2/3) + (4/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-2/3) + (2/3)*e^(-2t) + (4/15) - (4/15)*e^(-5t)

=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}
=(-2/3) - (-2/3)*e^(-2t) + (4/15) - (4/15)*e^(-5t)
=(-10/15) + (4/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-6/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-2/5) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)

F(t) - F(0)の計算の部分は普通の積分と同じなんですね。
コメントを付けて下さったのでようやく理解できました。
次に似たような問題が出ても理解できると思います。
ありがとうございました！

回答No.1

gamma1854

１つだけ計算します。難儀なところはありません。
∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ
=[-(2/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/15)*e^(-5(t-τ))]
=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}
=-2/5 + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t).
もう１つの積分も同様です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

以下のところで難儀しています(苦笑):

∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2(t-τ)) + (4/3)*e^(-5(t-τ))】dτ
=∫[0~t]【(-4/3)*e^(-2t+2τ) + (4/3)*e^(-5t+5τ)】dτ
=[(1/2)*{-(4/3)*e^(-2t+2τ)} + (1/5){(4/3)*e^(-5t+5τ)}]
=[-(2/3)*e^(-2t+2τ) + (4/15)*e^(-5t+5τ))]

※この間が不明です
おそらく、e^0=1が出てくると思うのですが、上の式からは想像もつきません・・・

=(-2/3)*{1 - e^(-2t)}+(4/15)*{1 - e^(-5t)}
=(-2/3) - (-2/3)*e^(-2t) + (4/15) - (4/15)*e^(-5t)
=(-10/15) + (4/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-6/15) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)
=(-2/5) + (2/3)*e^(-2t) - (4/15)*e^(-5t)

どうか行間を埋めて下さい。
お願いします。