積分の計算がわかりません。

質問

積分の計算がわかりません。

E=∫e^(-Aτ)B[e^(-Aτ)B]^T dτ

このとき任意のXに対して、

(X^T)EX=X^T∫e^(-Aτ)B[e^(-Aτ)B]^T dτ・X (1)

=∫(X^T)e^(-Aτ)B[e^(-Aτ)B]^TX dτ (2)

=∫[(X^T)e^(-Aτ)B][(X^T)e^(-Aτ)B]^T dτ (3)

=∫[(X^T)e^(-Aτ)B]^2 dτ (4)

(2)から(3)と(3)から(4)の間の計算がわかりません
わかりやすく教えてください
お願いします

回答No.6

flex1101

(2)から(3)の変形については、リンク先の(2.77)の関係式

M^T N = (N^T M)^T
を使っているようです。(まぎらわしいので、式2.77のAをM, BをNとしました)

M = e^(-Aτ)B
N = X
が対応して式(3)になるのはお分かりでしょうか。

(3)から(4)の変形ですが、Q Q^T = Q^2の計算になっているようですね。
Q = X^T e^(-Aτ)Bが対称行列になっていればQ = Q^Tとなり
Q Q^T = Q Q = Q^2になるような気がしますが、どうなのでしょうね。

参考URL：

http://ysserve.int-univ.com/Lecture/ControlMecha2/node10.html

回答No.5

B-juggler

うわぁ～、もうこれは、ここでどうこう言うレベルじゃないよ。

顔が見えないところで、分かったつもりになるのが一番いけないよ。

このレベルは、どこまで分かってるとか、どこが分からないとか

ちゃんとリアルタイムでやらないと。

そのためにお金払っているんだから。

分からないことは分からないで、先輩や教授に聞かれたほうがいい。

はっきり、こういうところで、分かったつもりになるのが一番痛い！

恥ずかしがる必要なんてないよ。ここまできてるんだから。

頼る場所が違うよ。　聞いて教えてくれないのなら、勉強しなきゃ。

そもそも、何故積分なの？　Σ　や　π　じゃないのは何故？

やってきているはずですよ。　分からなきゃ聞かなきゃ、直接ね。

ちょんと知ろうと、勉強もしないと。安易に顔が見えない相手に頼って

うそ教えられたらどうする？　このレベルはそういうレベルだよ。

回答No.4

Tacosan

「X は任意」とあるんだけど, 任意の「何」? これがベクトルなら正しいし行列なら間違い.
そして, ベクトルであるなら「積分」とは全く関係ない.

回答No.3

B-juggler

ゴメン、かぶっちゃったね。

Ａを、２×２の単位行列としてみて。

Ｂもできるだけ簡単に。

行列の積分になるのか・・・。

代数屋にはつらいね。　解析のほうの方、よろしくどうぞ。

ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.2

B-juggler

ちょっと待って、（１）をね、

(X^T)EX＝｛ｘ＾（Ｔ＋１）｝Ｅ　じゃダメ？

=∫[(X^T＋１)e^(-Aτ)B]^2 dτ (4)’　だと思うけど。

どこまでが累乗なのか、どれが×なのか、ちょっと分かりにくいかな？

ごちゃごちゃした式でいいから、補足で上げてもらえると助かります。

ついでに、Ｘ　って言うのは　τ の関数？

スイマセンもうちょっと補足を。ｍ（＿　＿）ｍ

補足

可制御行列Ucの階数(rank)がnであることである。
すなわち
Uc=[B,AB,A^2B,・・・,A^(n-1)B(n×nm) (1)

式(1)が成立するとして、ある(n×m)次元行列Eを次のように作る

　 t
E=∫[e^(-Aτ)]B[e^(-Aτ)B]^T dτ
　0

(X^T)EX=(X^T)∫[e^(-Aτ)]B[e^(-Aτ)B]^T dτ・X (1)

Tは累乗ではなく転置行列です。
Xは任意です

回答No.1

Tacosan

せめて A とか B とか X とか T とかが何を表す文字なのかは書いてほしい.

補足

Aは(n×n)行列
Bは(n×m)行列
Tは転置行列
Xは任意です