微分積分

質問

微積の問題で
x≧0
f(x)=(∫(0→x) e^(-t^2)dt)^2+∫(0→1) ({e^(-x^2(1+t^2))}/(1+t^2))dt
((0→x),(0→1)は積分範囲で，"{}"はただの見やすくするための括弧です。)
とおくとき，
(1)x>0においてf(x)の導関数=0を満たすことを示せ。
(2)x≧0にお大してf(x)=π/4が成り立つことを示せ。

という問題なのですが
与式の右の項の積分をどう解けば良いのかわかりません＞＜
どなたか解説おねがいします。

回答No.1

info22

ヒント）
(1)
f'(x)=2{∫(0→x) e^(-t^2)dt}e^(-x^2)+∫(0→1) ({e^(-x^2(1+t^2))}{-2x(1+t^2)}/(1+t^2))dt
=2{∫(0→x) e^(-t^2)dt}e^(-x^2)+∫(0→1) {-2xe^(-x^2(1+t^2))}dt
=2{e^(-x^2)}{∫(0→x) e^(-t^2)dt}-2{e^(-x^2)}∫(0→1) {e^(-x^2(t^2))}d(xt)
後半の積分で(xt)＝t'の変数変換をする(t'は改めてtと置き直す）。
=2{e^(-x^2)}{∫(0→x) e^(-t^2)dt}-2{e^(-x^2)}∫(0→x) {e^(-t^2))}d(t)
=0

(2)
(1)から x>0 で f(x)=C(定数)
また
f(0)=∫(0→1) {1/(1+t^2)}dt=atan(1)=π/4 …(A)
であることから
f(x)＝π/4 (x≧0)　…(B)
は容易に示すことができるでしょう。

後は、自力でできますね。

お礼

ありがとうございます^^
問題は解けました。
ですが，微分するときに，前半の部分は良いんですが，後ろの項の微分をするときに，定積分の中だけを微分していますよね??
このように微分できる説明等をしていただけないでしょうか??

補足

すいません，中だけを微分して問題ないですね^^;
完全に解けました!!ありがとうございます^^