積分

質問

f(t)=|cos(t)|の複素フーリエ級数展開求める問題を解いてて次の積分がでて解いていたんですが
Ck=1/π{∫[-T/2,T/2]cos(t)*e^(-j2kt)dt}
=1/π{∫[-T/2,T/2](e^jt+e^(-jt)) / 2*e^(-j2kt)dt}
=1/2π{∫[-T/2,T/2](e^j(1-2k)t + e^-j(1+2k)t)dt}
=1/2π[{e^j(1-2k)t}/{j(1-2k)} - {e^-j(1+2k)t}/{j(1+2k)}][-T/2,T/2]
とここまで出してこの先からの値を代入したあと式の整理の仕方がわかりません
どなたかお願いします

回答No.3

info22 · ベストアンサー

Ckの積分を計算すると
Ck=-(1/π)∫[-π/2,π/2] cos(t)e^(j2kt) dt
=(1/π)e^(-j2kt)[jk{e^(jt)+e^(-jt)}-2j{e^(jt)-e^(-jt)}]/(4k^2 -1)|[-π/2,π/2]
=-(1/π)e^(-j2kt){j2k cos(t)-sin(t)}/(4k^2 -1)|[-π/2,π/2]
=-(2/π)cos(kπ)/(4k^2 -1)
=-(2/π)*{(-1)^k}/(4k^2 -1)
となります。

＞Ck={e^j(1-2k)π/2-e^-j(1-2k)π/2}/j(1-2k) + {e^j(1+2k)π/2-e^-j(1+2k)π/2}/j(1+2k)

e^(jπ/2)=j, e^(-jπ/2)=-jだから
e^{j(1-2k)π/2}=je^(-jkπ)
e^{-j(1-2k)π/2}=-je^(jkπ)
e^{j(1+2k)π/2}=je^(jkπ)
e^{-j(1+2k)π/2}=-je^(-jkπ)
です。

＞=2sin(1-2k)π/2 / (1-2k) + 2sin(1+2k)π/2 / (1+2k)
　=-4cos(kπ)/(4k^2 -1)
と計算できますが、上記の正しい結果と比較すると
2πで割れば一致しますので、どこかで、1/πを忘れて見えたり、1/2倍する所を落として見えるようです。

お礼

ありがとうございます
とても参考になりました！！

回答No.2

info22

＞　与えられた関数f(t)は偶関数なので虚部が0になって
＞　e^j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2
＞　e^-j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2
＞　という風になるんでしょうか？
なりません。

＞　e^j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2+jsin(1-2k)π/2
＞　e^-j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2-jsin(1-2k)π/2
を代入した結果
Ck＝…
の式の虚数部が消えて、実数部だけになるという事です。
そのことを利用するために
＞e^(jx)+e^(-jx)
＞e^(jx)-e^(-jx)
こういう形式で式を整理して行けば、計算を効率的に計算ミスを防いで
計算できCkの式の
実数部が残り虚数部がなくなる
結果が出てきます。

という事です。

補足

とりあえずinfo22さんのいうとおりに式変形をしてみたところ
Ck={e^j(1-2k)π/2-e^-j(1-2k)π/2}/j(1-2k) + {e^j(1+2k)π/2-e^-j(1+2k)π/2}/j(1+2k)
=2sin(1-2k)π/2 / (1-2k) + 2sin(1+2k)π/2 / (1+2k)
となったんですがこの変形で正しいのでしょうか？

回答No.1

info22

＞ここまで出してこの先からの値を代入したあと式の整理の仕方がわかりません
T=πを含めて、代入してから、
e^(jx)=cos(x)+jsin(x),e^(-jx)=cos(x)+jsin(x)
の式を適用して下さい。
その際、
e^(jx)+e^(-jx)
e^(jx)-e^(-jx)
をまとめて式を変形するようにすること。
最終的には結果が偶関数になりますのでCkは実数になること。

このことを意識して計算式を変形して下さい。

補足

質問です
e^j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2+jsin(1-2k)π/2
e^-j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2-jsin(1-2k)π/2
とした場合、与えられた関数f(t)は偶関数なので虚部が0になって
e^j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2
e^-j(1-2k)π/2=cos(1-2k)π/2
という風になるんでしょうか？