積分変数t = t~+β

質問

※1: 下記の「F」は実際は普通のFではなく、「えふ」と打って変換できる「筆記体のようなF(環境依存文字)」です
※2: 下記の「t~」は「tの上に~(チルダ)を乗せた記号」です

「キーポイント フーリエ変換」という本で「重ね合わせの原理」を説明しているところで、自分の計算と合わない部分があります。まずは、本に載っているままを書きます：

「関数f(t)のフーリエ変換」と「f(t)をt軸方向にβだけずらした関数f(t-β)のフーリエ変換の間の関係を調べてみよう。
まず、
F[f(t)] = ∫[-∞,∞] f(t) e^(-ikt) dt (式6.3)
のf(t)をf(t-β)で置き換えると
F[f(t-β)]
= ∫[-∞,∞] f(t-β) e^(-ikt) dt
= ∫[-∞,∞] f(t~) e^{-ik(t~+β)} dt~ ←問題箇所: dt~ではなくd(t~+β)では？
= e^(-ikβ) * ∫[-∞,∞] f(t~) e^(-ikt~) dt~
を得る。ここで、積分変数tをt~ = t-βに変えた。したがって、(式6.3)を使って
F[f(t-β)] = e^(-ikβ) * F[f(t)]
が得られる。

…以上、引用終わり。

自分の見解ですが、
t~ = t-β
ですので、
t = t~+β
になりますよね？
それをtに代入すると、dtの部分はdt~ではなく、d(t~+β)にならないとおかしくありませんか？なぜ本にはdt~と載っているのでしょうか？"+β"の部分を消す方法があるのでしょうか？

関連のある質問：
https://okwave.jp/qa/q9370668.html
積分変数を-kからk~に変える計算ができません

補足が必要であればします。よろしくお願いいたします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

不定積分を
G(t)=∫f(t-β)e^(-ikt)dt…(1)
として両辺をtで微分すると

dG(t)/dt=f(t-β)e^(-ikt)…(2)

t~=t-β
とすると
t=t~+β…(3)
↓両辺をt~で微分すると
dt/dt~=dt(t~+β)/dt~=1…(4)

(3)を(2)へ代入すると
dG(t~+β)/d(t~+β)=f(t~)e^{-ik(t~+β)}…(5)

合成関数の微分公式から
dG(t~+β)/dt~={dG(t~+β)/d(t~+β)}{dt(t~+β)/dt~}
↓(5)から
dG(t~+β)/dt~=f(t~)e^{-ik(t~+β)}{dt(t~+β)/dt~}
↓(4)から
dG(t~+β)/dt~=f(t~)e^{-ik(t~+β)}
↓両辺をt~で積分すると
G(t~+β)=∫f(t~)e^{-ik(t~+β)}dt~
↓(2)から
G(t)=∫f(t~)e^{-ik(t~+β)}dt~
↓(1)から
∫f(t-β)e^(-ikt)dt=∫f(t~)e^{-ik(t~+β)}dt~
↓
∴
∫[-∞,∞]f(t-β)e^(-ikt)dt=∫[-∞,∞]f(t~)e^{-ik(t~+β)}dt~

お礼

ありがとうございます。
すみません、
dt(t~+β)/dt~=1…(4)
の部分が解けません。
(t~+β)を(t)に戻して
dt(t)/dt~=1/dt~
でしょうか？
それでも1にはなっていません…。
どうかお願いします。

補足

自力でできました。
t-t~=β ←この形でしかできませんが(^_^)
t~で微分
1 dt/dt~-1=0
dt/dt~=1

残りも最後まで計算して納得しました。
（↓(2)から、はきっと↓(3)から、ですね。）
ありがとうございました！

回答No.2

f272

> 問題箇所: dt~ではなくd(t~+β)では？

βは定数なのだからdβ=0であってd(t~+β)=dt~+dβ=dt~ですよ。

お礼

なるほど、+βは定数項だから微分すると消えてしまうんですね。グラフで言うと平坦で傾きには貢献しない部分…理解できました。
今回かなり悩みましたが、No.1の方にベストアンサーを差し上げることにします、細かく式を書いて下さったので…すみません。でもお二人の説明で理解できました。ありがとうございました！