x³+1で割ると余りが2x+3であり、x² +x+

質問

x³+1で割ると余りが2x+3であり、x² +x+1で割ると余りが3x+5である3次式を求めよ。

という問なのですが、画像のように、商をax+b, cx+d のような形でおくのはなぜですか？
yなどではだめなのですか？

回答No.6

178-tall

>ANo.5 に更なる蛇足…

　P = (x^2+1)*u + 2x+3 = (x^2+x+1)*v + 3x+5　　…(1)
(1) の「右」2 項の差は、
　(x^2+1)*u - (x^2+x+1)*v = x+2
　　　　↓ w=u-v として
　(x^2+1)*w - x*v = x+2　　…(2)
　　　↑
この「ユークリッド互除」往復の手間がチョイ増えるが、「商をax+b, cx+d のような形でおく」操作はチョイ楽になる。

w=ax+b, v=cx+d として、
　 (x^2+1)(ax+b) - x(cx+d)
　= ax^3 + (b-c)x^2 + (a-d)x　+　b
　= 　　　　　　　　　　　 x　+　2
　　 ↑　　　　 ↑　　　 ↑　　 ↑
　　 a=0　　　b=c　　　 a-d=1　 b=2

つまり、w=2, v=2x-1 → u=w+v=2x+1 。

回答No.5

178-tall

ANo.4 の訂正と蛇足。

　[訂正]
(1) の「右」2 項の差は、
　(x^2+1)*u - (x^2+x+1)*v = x+2
　　　　↓ w=u-v として
　(x^2+1)*w - x*v = x+2　　…(2)
　　　↑
これの解は？

目算で、w=2, v=2x-1 → u=w+v=2x+1。
　　↓　[蛇足]
「目算」が面倒ならば、「商をax+b, cx+d のような形でおく」に戻れば OK。
　w = ax+b, v=cx+d とでもして、式 (2) へ代入すれば、{a. b, c, d} をゲット可。

回答No.4

178-tall

とり急ぎ、
　P = (x^2+1)*u + 2x+3 = (x^2+x+1)*v + 3x+5　　…(1)
から u, v を求めてみる。

(1) の左側 2 項の差は、
　(x^2+1)*u - (x^2+x+1)*v = x+2
　　　　↓ w=u-v として
　(x^2+1)*w - x*v = x+2
　　　↑
これの解は？

目算で、w=2, v=2x-1 → u=w+v=2x+1。

これを (1) へ代入 (check)。
　(x^2+1)*u + 2x+3 = (x^2+1)*(2x+1) + 2x+3 = 2x^3+x^2+4x+4
　(x^2+x+1)*v +3x+5 = (x^2+x+1)*(2x-1) + 3x+5 = 2x^3+x^2+4x+4

回答No.3

pkweb

こんにちは
一旦、ｙなりXなり他の一つの文字にした方がやりやすいのではというご質問としてお答えします。

例としてax+b=y,cx+d=zとして解こうとすると
P＝ｙ(x^3+1)+2x+3=yx^3+2x+(y+1)
=z(x^2+x+1)+3x+5=zx^2+(z+3)x+(z+5)

となり、ｙやｚをｘが入っている式に戻さないと
ｘ＾3の係数を比較すると　y=0
x^2の係数を比較すると　ｚ＝0
xの係数を比較すると　2＝ｚ+3　→ｚ＝0と矛盾する。
xのつかない項を比較すると　y+1=z+5　→y=0,z=0と矛盾する。
なので、結局、最終的にy,zそれぞれにxのついた一次式を代入しなくなります。
それなら最初からax+b,cx+dにした方が早いということです。

回答No.2

asuncion

＞yなどではだめなのですか？
はい。ダメです。yにすると、後の処理が何もできません。
なお、問題文にあるa≠0, c≠0というしばりはいらないのではないかと思います。
2次式で割ったあまりは1次以下ですから、0次であっても
いっこうに差し支えないはずです。

回答No.1

muturajcp

Pはxの3次式だから
x^2+1はxの2次式だから
xの3次式をxの2次式で割った商はxの1次式になるからax+bとおく
例えば
P=2x^3+2x
とすると
P/(x^2+1)=(2x^3+2x)/(x^2+1)=2x≠x
だからxではだめ、2x≠yだからyもだめ

Pはxの3次式だから
x^2+x+1はxの2次式だから
xの3次式をxの2次式で割った商はxの1次式になるからcx+dとおく

Pはxの3次式だから

P=ax^3+bx^2+px+s

とかける
これをx^2+1で割ると

..........ax+b
..........-------------------------
x^2+1)ax^3+bx^2+px+s
..........ax^3..........+ax
----------------------------------
...................bx^2+(p-a)x+s
...................bx^2 +b
---------------------------------
............................(p-a)x+s-b
だから
P=ax^3+bx^2+px+s
を
x^2+1
で割ったときの
商は
ax+b
で
余りは
(p-a)x+s-b
となるから
商を
ax+b
とおく

P=cx^3+bx^2+px+s
を
x^2+x+1
で割ると

..............cx+(b-c)
..............-------------------------
x^2+x+1)cx^3+bx^2+px+s
...............cx^3+cx^2+cx
----------------------------------
..................(b-c)x^2+(p-c)x+s
..................(b-c)x^2+(b-c)x+b-c
---------------------------------
.................................(p-b)x+s-b+c
だから
P=cx^3+bx^2+px+s
を
x^2+x+1
で割ったときの
商は
cx+(b-c)
で
余りは
(p-b)x+s-b+c
となるから
商を
cx+d
とおく