「x^4+x^3+x+3 を Z_5[x]で完全に因数分解せよ。」と言

質問

「x^4+x^3+x+3 を　Z_5[x]で完全に因数分解せよ。」と言う問題です。
因数分解ができないと思うのですが。
Z_5[x]なので、係数は５を法として考えればよいと思って解こうとしましたが、できそうにありません。そもそも考え方が違うのか、計算ミスなのかわかりません。とりあえず、x=0,1,-1,2,-2を代入してもゼロにならないので、１次の因数を持たない。したがって、因数分解できるとしたら(x^2+ax+b)(x~2+cx+d)しかありえず、係数比較をして、a+c=1,b+d+ac=1,ad+bc=1,bd=3を連立させました。いずれも5を法としての合同式として考えましたが、解けません。a+c=1とbd=3を満たすものについてb+d+ac=1となる組を調べてみたところ、(a,c)=(3,3),(b,d)=(2,4),(4,2)だけで、ad+bc=3しか出てこないのです。
(4x^2+ax+b)(x~2+cx+d)とか、(3x^2+ax+b)(3x~2+cx+d)とかについても調べましたが、同じでした。
元の式が「x^4+x^2+x+3」なら、上の方法で(x+3)(x^3+2x^2+1)と因数分解できたのですが。

回答No.1

Tacosan

ん? 元の式, x^2 の係数は 0 だよね?

補足

あ、そうです。指摘ありがとうございます。書き間違いでした。
b+d+ac=1ではなくて、b+d+ac=0が正しいです。
計算は、きちんと、b+d+ac=0で進めています（汗