３乗の和の公式

質問

Σk^3 = {(n)(n+1)/2}^2
という公式の導き方がわかりません。

これって　Σk = (n)(n+1)/2 の２乗じゃないですか。
「すげーミラクル！」とか思ったんですけど、どーなんですかね？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

Σ((k+1)^4-k^4)=Σ(4k^3+6k^2+4k+1)

はＯＫですか？((k+1)^4を展開しただけ)

これを変形すると

Σk^3=(6Σk^2+4Σk+Σ1-Σ((k+1)^4-k^4))/4…☆

ここで、Σ((k+1)^4-k^4)は、具体的に書き下せば、(n+1)^4-1になる事も分かるでしょう。さらに、Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6、Σk=n(n+1)/2、Σ1=nというのが既に分かっているとすれば、☆の右辺がｎの多項式で表されて、整理すると(n(n+1)/2)^2になるはずです。

同様の計算をすれば、
Σk^4,Σk^5,…
も計算できます。(あまり綺麗ではないですが)

参考までに,Σk^3 = {(n)(n+1)/2}^2を証明するだけなら,帰納法の方が簡単かな？

お礼

回答ありがとうございます。

４行目の式ですが
Σk^3={Σ((k+1)^4-k^4)-6Σk^2-4Σk-Σ1}/4
の間違いではないでしょうか？それさえOKなら完璧に理解できました。帰納法もできました。

回答No.2

eatern27

#1です。

＞Σk^3={Σ((k+1)^4-k^4)-6Σk^2-4Σk-Σ1}/4
＞の間違いではないでしょうか？

ぁ、そうです…。すいません。

お礼

いえいえ。ありがとうございました。