4乗の和

質問

2乗の和は
Σ[k=1～n]k(k+1)=1/3n(n+1)(n+2)
Σ[k=1～n]k(k+1)-Σ[k=1～n]k=Σ[k=1～n]k^2
で求めたり

3乗の和は
Σ[k=1～n]k(k+1)(k+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)
Σ[k=1～n]k(k+1)(k+2)-3Σ[k=1～n]k^2-2Σ[k=1～n]k=Σ[k=1～n]k^3
から求められたので4乗も同じ要領で

Σ[k=1～n]k(k+1)(k+2)(k+3)=1/5n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
Σ[k=1～n]k(k+1)(k+2)(k+3)-6Σ[k=1～n]k^3-11[k=1～n]k^2-6[k=1～n]k=k^4
から求めようと思って計算してみたのですが
私にとっては複雑になりすぎてぐちゃぐちゃで変な式になってしまいます・・・。
このΣ[k=1～n]k(k+1)(k+2)(k+3)-6Σ[k=1～n]k^3-11[k=1～n]k^2-6[k=1～n]kからk^4の和を求めることってできますか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

k^4 = k(k+1)(k+2)(k+3) - 6 k^3 - 11 k^2 - 6 k よりも
k^4 = k(k+1)(k+2)(k+3) - 6 k(k+1)(k+2) + 7 k(k+1) - k を使ったほうが、
グチャグチャになりにくいと思います。

Σ[k=1～n] k^4 = Σ[k=1～n] k(k+1)(k+2)(k+3) - 6Σ[k=1～n] k(k+1)(k+2) + 7Σ[k=1～n] k(k+1) - Σ[k=1～n] k
= (1/5)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) - 6(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) + 7(1/3)n(n+1)(n+2) - (1/2)n(n+1)
= (1/30)n(n+1){ 6(n+2)(n+3)(n+4) - 45(n+2)(n+3) + 70(n+2) - 15 }
= (1/30)n(n+1){ 6n^3 + 9n^2 + n - 1 }
= (1/30)n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n + 1).

お礼

なるほどありがとうございます。
そういう風に工夫すればいいんですね
何とかできました

回答No.1

noname#185706

質問者さんの方法が有効かどうかは知りませんが、
４乗の和の求め方は↓の「追記」で説明されています。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum.htm