数(3)・不定積分 ： log(x+2)、log(1-x)の積分の仕方

質問

数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」（どちらも底はeです）の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。

最初の問題は部分積分法の公式を使うと
∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、
解答は
log(x+2)・x-x+2log｜x+2｜+C （Cは積分定数）

となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。

次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと
∫log(1-x)=log(1-x)・x+∫x/(1-x)dx …(2)となり、
解答は
x・log(1-x)-x-log｜1-x｜+C（Cは積分定数）

となるのですが、ここで、(2)式の右辺、∫x/(1-x)dxの部分を、部分分数に分けて∫{-1+1/(1-x)}にするのですが（今の式の『-1』は、(1-x)で割られない、普通の-1です）、そういう風に変形する意味が分かりません。

分かる方が居ましたら、教えて下さると嬉しいです！

回答No.1

selene_pl · ベストアンサー

ひとつめ。
1/(x+2) = 1/x + 1/2　だと勘違いしていませんか？

ふたつめ。
(1)式とは違い、分子にxがあるので、部分分数分解をして、
分子にxがない状態にすると、積分しやすくなるからです。
この例でいくと、∫(-1+1/(1-x))dx = -∫1dx + ∫(1/(1-x))dxになるので、
あとはそのまま積分できます。

補足

素早い対応、どうも有難うございます!!

ひとつめのご解答のほうは、
…今気付いたのですが、selene_plさんのご指摘を頂いたように勘違いしていました。ど、どうもすいませんでした…!!ご指摘、有難うございました！

あの、でも質問の内容が変わってきてしまうのですが、となると∫1/(x+2)・xdxの部分、すなわち∫x/(x+2)の部分は部分分数に分解して、∫{1-1/(x+2)}dx（今の『1』は、(x+2)で割られない普通の+1です！）になりますよね。それを積分すると『x-log｜x+2｜』になるはずなのに、解答では、それに対応する部分が『x-2log｜x+2｜』となってしまっています…（解答ですと、logの部分に係数がついています）。何でそうなるのか…よく分からなくなってしまいました。良かったら、何方か教えていただけると助かります。

あと、二つ目は納得しました！そうですね、そっちのほうがやり易かったです…！

重ね重ね、親切なご解答、どうも有難うございました!!

回答No.2

selene_pl

＞∫x/(x+2)の部分は部分分数に分解して、∫{1-1/(x+2)}dx

これも、単純な勘違いのようですよ。
x/(x+2) = 1 - 2/(x+2)　です。
ここで、係数の２が出てきますね。

このあたりのコツがつかめると、この手の積分はかなりできるようになるので、頑張ってください。

・・・#1の回答の、ふたつめ。「(1)式と違い」って書いているのは、明らかに私の勘違いですねぇ。
訂正しておきます。違いません、同じような計算です。

＃人に偉そうなことが言えない(^^ヾ

お礼

あっ、そ、そうでした…!!!

部分分数に分けるやり方、暗算でやるとやっぱりダメですね（汗）。ちゃんと丁寧にやるのが一番でした…（ごめんなさい!!ちゃんと回数をこなして出来るように頑張ります！）。

本当、教えていただいてもらえて助かりましたので、ふたつめのご解答の返信、全然気にしないで下さいね！考え方に関わってくるような問題じゃないですから！（^-^）

前問に続いてのお返事、本当にどうも有難うございました…！テスト勉強、頑張ります！