線形空間についての質問です

質問

C³の基底《a₁=(1,－i,0) , a₂ =(0,1,1) , a₁ =(1 + i,1,0)》にグラムシュミットの正規直交化法を用いて、正規直交基底を作って示せ
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回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

C^3の基底を《a_1=(1,－i,0) , a_2=(0,1,1) , a_3=(1+i,1,0)》とすると
|a_1|=|(1,-i,0)|=√2
e_1=a_1/|a_1|=(1/√2,-i/√2,0)

f_2
=a_2-(a_2,e_1)e_1
=(0,1,1)-((0,1,1),(1/√2,-i/√2,0))(1/√2,-i/√2,0)
=(0,1,1)-(i/√2)(1/√2,-i/√2,0)
=(0,1,1)-(i/2,1/2,0)
=(-i/2,1/2,1)

|f_2|=(√6)/2
e_2=f_2/|f_2|=(-i/√6,1/√6,(√6)/3)

f_3
=a_3-(a_3,e_1)e_1-(a_3,e_2)e_2
=(1+i,1,0)-((1+i,1,0),(1/√2,-i/√2,0))(1/√2,-i/√2,0)-((1+i,1,0),(-i/√6,1/√6,(√6)/3))(-i/√6,1/√6,(√6)/3)
=(1+i,1,0)-{(1+2i)/√2}(1/√2,-i/√2,0)-(i/√6)(-i/√6,1/√6,(√6)/3)
=(1+i,1,0)-((1+2i)/2,(2-i)/2,0)-(1/6,i/6,i/3)
=(1/3,i/3,-i/3)

|f_3|=1/√3
e_3=f_3/|f_3|=(1,i,-i)/√3
∴正規直交基底は
e_1=(1/√2,-i/√2,0)
e_2=(-i/√6,1/√6,(√6)/3)
e_3=(1/√3,i/√3,-i/√3)

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