線形代数の問題です。至急御願いします！

質問

問．
(1)R^n∋P1,P2,...,Pnについて次を示せ。
P1,P2,...,Pnが標準内積に関し正規直交基底⇔P=(P1,P2,...,Pn)が直交行列

(2)C^n∋u1,u2,...,unについて次を示せ。
u1,u2,...,unが標準内積に関し正規直交基底⇔U=(u1,u2,...,un)がユニタリー行列

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
tP_iはP_iの転置とする
1)
(P_i)_{i=1～n}を正規直交基底とすると
(P_i)_{i=1～n}が正規だから
(|P_i|^2=(P_i,P_i)=(tP_i)P_i=1)_{i=1～n}
(P_i)_{i=1～n}が直交だから
((P_i,P_j)=(tP_i)P_j=0)_{1≦i≠j≦n}
↓
(tP)P=(((tP_i)P_j)_{j=1～n})_{i=1～n}=E=(単位行列)
→「(tP)P=EとなるときPは直交行列という」
定義よりPが直交行列となる
2)
(P_i)_{i=1～n}=Pを直交行列とすると定義より
↓
(tP)P=(((tP_i)P_j)_{j=1～n})_{i=1～n}=E
↓
((P_i,P_i)=(tP_i)P_i=1)_{i=1～n}→((P_i)_{i=1～n}が正規)
((P_i,P_j)=(tP_i)P_j=0)_{1≦i≠j≦n}→((P_i)_{i=1～n}が直交)
↓
(P_i)_{i=1～n}は正規直交基底となる
(2)
tu_iはu_iの転置
u_j~はu_jの共役
1)
(u_i)_{i=1～n}を正規直交基底とすると
↓
(u_i)_{i=1～n}が正規だから
(|u_i|^2=(u_i,u_i)=(tu_i)u_i~=1)_{i=1～n}
(u_i)_{i=1～n}が直交だから
((u_i,u_j)=(tu_i)u_j~=0)_{1≦i≠j≦n}
↓
(tU)(U~)=(((tu_i)u_j~)_{j=1～n})_{i=1～n}=E
↓「(tU)(U~)=Eとなるときユニタリー行列という」
定義よりUがユニタリー行列となる
2)
(u_i)_{i=1～n}=Uをユニタリー行列とすると定義より
↓
(tU)(U~)=(((tu_i)u_j~)_{j=1～n})_{i=1～n}=E
↓
(|u_i|^2=(u_i,u_i)=(tu_i)u_i~=1)_{i=1～n}→(u_i)_{i=1～n}が正規
((u_i,u_j)=(tu_i)u_j~=0)_{1≦i≠j≦n}→(u_i)_{i=1～n}が直交
↓
(u_i)_{i=1～n}は正規直交基底となる

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

muturajcp

(1)
tP_iはP_iの転置
((P_i,P_i)=(tP_i)P_j=1)_{i=1～n},((P_i)_{i=1～n}が正規)
((P_i,P_j)=(tP_i)P_j=0)_{1≦i≠j≦n},((P_i)_{i=1～n}が直交)
←→
(tP)P=(((tP_i)P_j)_{j=1～n})_{i=1～n}=E=(単位行列)
←def→Pが直交行列
(2)
tu_iはu_iの転置
u_j~はu_jの共役
((u_i,u_i)=(tu_i)u_j~=1)_{i=1～n},((u_i)_{i=1～n}が正規)
((u_i,u_j)=(tu_i)u_j~=0)_{1≦i≠j≦n},((u_i)_{i=1～n}が直交)
←→
(tU)(U~)=(((tu_i)u_j~)_{j=1～n})_{i=1～n}=E
←def→Uがユニタリー行列

補足

回答ありがとうございます！
非常に申し訳ないのですが証明を正規直交基底のとき直交行列を示す、直交行列のとき正規直交基底を示すのように2段階に分けてもらえないでしょうか？