グラムシュミット法と直交射影行列

質問

グラム・シュミットの直交化法と直交射影行列にはどんな関連性がありますか？

回答No.1

echoes_x86

こんばんは．

関係があると言えばありますし，無いと言えば無いです．
m*n行列A (m > n, rank(A)=n)を考えたとき，Aの列空間への直交射影行列は
A(A^T*A)^(-1)A^T ...(1)
で書けます(^Tは転置記号)．
通常はA^T*AのCholesky分解 A^T*A -> U*U^T を使って
(A*U^(-T))*(A*U^(-T))^T ...(2)
と計算します．
なのですが，Aの列にグラムシュミットの直交化を施して，
A -> Q*R
とすると(Rは上三角行列，Qは直交行列)，直交射影行列は
Q*Q^T ...(3)
で書けます．
式(2)と式(3)にさしたる違いは無いですが，
後者の方は方程式A*U^(-T)を計算するための方程式
A = X*U^T
を解かなくて良いという利点があります．
結論すると，
シュミットの直交化を使うと直交射影行列が安全に計算できる
ということです．
これは「ある空間への直交射影行列」を計算するには，
「射影先の空間の直交基」を作っておけば良い，ということに対応します．