【院試 線形代数】線形写像、正射影がわかりません。

質問

線形代数のベクトルを像の作る平面への正射影の考え方がわかりません。問題文に関しましては、画像を添付させて頂いています。(1),(2),(3)の回答の作成の方をお願いします。確認としまして（１）で、ImA=(1,3,1)t,(2,6,1)の２つのベクトルで正しいでしょうか？ImAが互いに直交するのはシュミットの正規直交化でよろしいですか？（２）からは本格的にわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
ImAの基底は
[(1,3,1),(2,6,1)]
だから
ImAの全ての要素に直交するベクトルを(u,v,w)tとすると
ImAの基底(1,3,1)と(u,v,w)は直交するから
((1,3,1),(u,v,w))=u+3v+w=0…(1.1)
ImAの基底(2,6,1)と(u,v,w)tは直交するから
((2,6,1),(u,v,w))=2u+6v+w=0
これから(1.1)を引くと
u+3v=0…(1.2)
これを(1.1)に代入すると
w=0…(1.3)
(1,2)の両辺から3vを引くと
u=-3v
これと(1.3)から
(u,v,w)=(-3v,v,0)=v(-3,1,0)
∴ImAの全ての要素に直交するベクトルは
(u,v,w)t=(-3,1,0)t

シュミット直交化法により
v2'
=(2,6,1)-((2,6,1),(1,3,1))(1,3,1)/|(1,3,1)|^2
=(2,6,1)-((2,6,1),(1,3,1))(1,3,1)/11
=(2,6,1)-(2+18+1)(1,3,1)/11
=(2,6,1)-21(1,3,1)/11
=(2,6,1)-(21/11,63/11,21/11)
=(2-21/11,6-63/11,1-21/11)
=(1/11,3/11,-10/11)
=(1,3,-10)/11
∴ImAの基底で互いに直交するものは
[(1,3,1),(1,3,-10)]

(2)ベクトル(4,2,0)tをImAへの直交射影(正射影)した
ベクトル(p,q,r)tと(4,2,0)の差ベクトルは
ImAの全ての要素に直交するから
ImAの全ての要素に直交するベクトル(-3,1,0)に平行だから
(p,q,r)-(4,2,0)=s(-3,1,0)
となる実数sがある
(p,q,r)=(4,2,0)+s(-3,1,0)
ImAの要素(p,q,r)と(-3,1,0)は直交するから
((p,q,r),(-3,1,0))=0
=((4,2,0),(-3,1,0))+s|(-3,1,0)|^2=0
=-12+2+10s=0
10s=12-2=10
s=1
(p,q,r)=(4,2,0)+(-3,1,0)=(1,3,0)
∴ベクトル(4,2,0)tをImAへ正射影したベクトルは
(p,q,r)t=(1,3,0)t

(3)
||A(x,y)t-(4,2,0)t||を最小にするA(x,y)tは
ベクトル(4,2,0)tをImAへ正射影したベクトル(1,3,0)tだから
A(x,y)=(1,3,0)
(1,2)(x)
(3,6)(y)
(1,1)
=(x+2y,3x+6y,x+y)=(1,3,0)
x+2y=1
3x+6y=3
x+y=0
y=1
x=-1
∴||A(x,y)t-(4,2,0)t||を最小にする(x,y)は
(x,y)=(-1,1)

お礼

回答ありがとうございます。疑問が解消され非常に助かりました。丁寧な御対応ありがとうございました。