正規直交基底に関する問いです。お願いします。

質問

問　?=１/3<1,2,2>を含むR³の正規直交基底を一組み構成せよ。

　良く見る設定は、３次元の場合、ベクトルが３本与えられていて、そこからシュミットの直交化法を用いて、正規直交基底を作るタイプです。本問は、ベクトルが一つしか与えられてません。どのような方針で、解法はどのようになるのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.5

titaniumcation · ベストアンサー

以下の定理を使います。

a1,a2,……,an はそれぞれベクトルで基底とする
b=c1*a1+c2*a2+……+cn*an （c1……cnは実数でcnは0でない）とする
このとき a1,a2,……,an-1,b は基底である

（問題の解答）

(1)　まずR^3の基底を探す

R^3の基底で明らかなのは i=<1,0,0> j=<0,1,0> k=<0,0,1>　である
b=1/3<1,0,0>+2/3<0,1,0>+2/3<0,0,1>とする
このとき定理より b , i , j は基底である

(2)　基底 b , i , j をシュミットの直交化で正規直交基底にする

間違っているかもしれませんが以下のような答えになりました

1/3<1,2,2> 　　　1/3√2 <4,-1,-1> 　　　1/√2 <0,1,-1>

回答No.7

alice_44

いや、シュミットは無駄か。
与えられたベクトル v に平行でないベクトル w
を一つ好きに持ってくると、
v, w×v, (w×v)×v は相互に直交する。
No.4 が言ってたのは、これだな。
それぞれ長さで割って、単位ベクトルにすれば終わり。
w=(1,0,0) とかにしとくのが、計算は楽。
あくまで、三次元限定だけど。

回答No.6

alice_44

「u, v, u×v をシュミット」は、
我ながらセンスなかった。
u, u×v, v をシュミット直交化
するほうがいい。
理由は、A No.4 かな。

回答No.4

Tacosan

あるいは「v と独立なベクトル u を v と直交するようにすれ」ば, 3本目の方向は 外積 u×v で求まりますな.

もちろん「ランダムなベクトルを選んだときに一次従属となる」確率は 0 と非常に低い.

回答No.3

alice_44

？
三次元に限った話であれば、
与えられたベクトル(v と置く)に平行でないベクトル u を
任意に持ってきて、v, u, v×u をシュミット直交化する
だけでも済むけれど。

回答No.2

think2nd

Keep　thinking　を忘れていませんか。→?に垂直な平面をπとします。
この平面上にある2つのベクトルを→a、→bとします。外積を使って
→a×→b=α→?を満たす→a、→bを探せばいいです。コツは→a、→bを垂直になるように見つけることと、αはあればなんでもいい定数です。

回答No.1

alice_44

ヤマカンで、あと二つベクトルを持ってきて、
三つのベクトルが一次独立なことを確認
(従属なら、ベクトルを選び直し)の後、
シュミット直交化を行う。

ランダムにベクトルを持ってきたとき
一次従属になる確率の低さを考えれば、
これできっと上手くいくと思われる。