高校1年 数学です。

質問

直角三角形ABCの斜辺AB上に点Dをとり、BCとCAに垂線DEとDFを引く。
BC=48,CA=6,DE=xとして、次の各問いに答えよ。
(1)xの取り得る値の範囲を求めよ。
(2)△ADFと△DBEの面積の合計をSとする。Sをxを用いて表せ。
(3)(2)のとき、Sの最小値とそのときのxの値を求めよ。

途中式⁇も詳しく教えてくださると嬉しいです！
多いですが、よろしくおねがいします。。。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

1)図を書くと明らかなとおり、0 < x < 6

2)△ABC ∽ △DBE
相似比 = AC : DE = 6 : x
また、AC : CB = 1 : 8 = DE : EBより、8x = EB
よって、△ADFにおいて、底辺FD = 48 - 8x, 高さAF = 6 - xより、
面積 = (24 - 4x)(6 - x) = 4(6 - x)^2 ... (1)
また、△DBEにおいて、底辺EB = 8x, 高さDE = xより、
面積 = 4x^2 ... (2)
(1)(2)式より、S = 4(6 - x)^2 + 4x^2 = 4(2x^2 - 12x + 36) = 8x^2 - 48x + 144

3)S = 8x^2 - 48x + 144 = 8(x^2 - 6x) + 144 = 8(x - 3)^2 + 72より、
Sの最小値 = 72, そのときのx = 3

お礼

至急だったので大変助かりました！
御丁寧にありがとうございます！