数学

質問

∠Ｃを直角とする直角三角形ＡＢＣの斜辺ＡＢ上（ただし２点、Ａ，Ｂをのぞく）に点Ｄをとり、Ｄから辺ＢＣ，ＣＡに引いた垂線の足を、それぞれＥ，Ｆとする。ＢＣ＝６、ＣＡ＝４のとき、三角形ＡＤＦと三角形ＤＢＥの面積の和が最小になるような線分ＡＦの長さを求めよ。
ＡＦ＝ｘ ＦＣ＝４－ｘ と考えてとくはずなのですが、この後からがよく分かりません。
範囲は、二次関数の最大値、最小値です。
どなたか教えてください。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

△ＡＢＣと△ＡＤＦにおいて、∠ＡＣＢ＝∠ＡＦＤ、∠Ａ共通なので、△ＡＢＣ∽△ＡＤＦ　であることは分かると思います。
　従って、相似比の関係から、
　　ＡＦ：ＤＦ＝ＡＣ：ＢＣ
　　ｘ：ＤＦ＝４：６
　∴ＤＦ＝３ｘ／２
ということが分かると思います。

　同様に、△ＡＢＣ∽△ＤＢＥなので、
　　ＤＥ：ＢＥ＝ＡＣ：ＢＣ
　　(4-x)：ＢＥ＝４：６　　（∵ＤＥ＝ＦＣ＝４－ｘ）
　∴ＢＥ＝６－３ｘ／２

　これらの辺の長さから△ＡＤＦと△ＤＢＥの面積の和をＳとしますと、
　　Ｓ＝AF・DF/2＋DE・BE/2
　　　＝x・3x/2・1/2 + (4-x)(6-3x/2)/2
　　　＝(3/2)x^2-6x+12
　　　＝(3/2)(x-2)^2+6　　　←平方完成の形にします。
となります。
　ここで、ｘは辺ＡＦの長さで、題意から点Ａと点Ｃを含まないので、ｘの範囲は
　　０＜ｘ＜４
ということが分かります。
　そこで、この範囲でＳが最小となるのは、平方完成の式から、
　　ｘ＝２のときで　最小値Ｓ＝６
だということが分かります。

お礼

大変分かりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

T-gamma

ＡＦ＝ｘとおくと、ＦＣ＝４－ｘ
また、三角形ＡＤＦと三角形ＡＢＣは相似であるので
ＡＦ：ＤＦ＝ＡＣ：ＢＣ
ｘ：ＤＦ＝４：６
ＤＦ＝３ｘ/２
あとは四角形ＤＦＣＥの面積をｘの関数にすれば分かります。
（四角形の面積が最大のとき、三角形の和は最小）

お礼

やってみたらできました。
ありがとうございます。

回答No.1

debut

△ＡＢＣと△ＡＤＦは相似になるから、辺の比より
４：６＝ＡＦ：ＤＦ
　　　＝ｘ：ＤＦ
なので、ＤＦ＝３ｘ/２と表すことができます。
すれば、長方形ＤＦＣＥの面積は・・
よって、求めたい部分は・・・
とやっていけばいいと思います。
ただし、ｘの範囲に気をつけてください。

お礼

早速の回答ありがとうございました。