数学の質問です。

質問

△ABCにおいて、↑AB,↑BC,↑CAに関する内積をそれぞれ

↑AB*↑BC=x
↑BC*↑CA=y
↑CA*↑AB=z

とおく。
△ABCの面積をx、y、zを用いて表せ。

答えは1/2√(xy+yz+zx)

となるそうなのですが、解き方が分かりません。
解答までの流れを是非教えてください。

回答No.3

Mr_Holland

ANo.1 です。
　質問者さんの補足を拝見してがっかりしています。　回答内容を理解してもらえたのでしょうか？

　（ANo.2のnaniwacchiさんには　感謝します。　ありがとう！！）

＞ベクトルの記号は省略して補足の質問をさせていただきます。
＞AB=b
＞AC=c
＞とおいて内積から考えたらどうなりますか。

　ANo.1 (1)でおいた文字を変えただけですよね。
　質問者さんのおいた文字で置き換えると　ANo.1の(1)はどうなりますか？
　それをやってみてください。

＞それとＳ=1/2|b||c|√(1-cos^2∠BAC)を使ってＳを求める計算はどのようになりますか。
＞別解として教えてください。

　別解もなにも　ANo.1 (2)は　使っている文字が違うだけで　そのものですよ！
　（ヘロンの公式から求めろ　というのならともかく。）

　回答内容を理解しようとする姿勢で分からないところを補足で質問するというのなら分かるのですが、それもせずに、いきなり別解を求めるというのはいかがなものでしょうか。
　別解を求めるなら　最低限、回答内容を理解するのが質問者さんの努めだと思いますよ。
　そのようにしないと質問者さんのためにもなりませんよ！

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
横やりになってしまいますが。＾＾；

＞AB=b、AC=c
＞とおいて内積から考えたらどうなりますか。
内積の式を整理すると、
-ca* cos(B)＝ x, -ab* cos(C)＝ y、-bc* cos(A)＝ z

となります。
これらを余弦定理の式に代入して、#1さんの (1)が論じられています。
そもそも条件式が内積なのですから、当然といえば当然ですね。

＞それとＳ=1/2|b||c|√(1-cos^2∠BAC)を使ってＳを求める計算はどのようになりますか。
これも #1さんが (2)できちんと説明されています。

面積の計算をすると b^2や c^2といった値が残るので、これをどう消去するかということを考えています。
そのために、そもそもの条件式である内積の式と余弦定理を使っているだけです。

まずは面積の式が変形できないかを考えてみて、
直接無理なようであれば条件式を書き出して、いろいろと工夫してみる。
というのが大枠での考え方になっていますね。

回答No.1

Mr_Holland

(1)　準備として、文字を次のように置き、関係式を得ます。
　　見づらくなりますので、ベクトルの「↑」は省略して書きます。

　　|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c
　　∠CAB=A, ∠ABC=B, ∠BCA=C

　余弦定理から、次の関係が成り立ちます。

　　x=AB・BC=ca cos(180°-∠ABC)=(b^2-c^2-a^2)/2　　（∵b^2=c^2+a^2-2ca cos∠ABC　）
　　y=(c^2-a^2-b^2)/2
　　z=(a^2-b^2-c^2)/2

　上の3つの式から、a^2. b^2, c^2 は次のように書けます。
　　a^2=-(x+y), b^2=-(y+z), c^2=-(z+x)

(2)　△ABCの面積Sをx,y,zで表します。

　　S=(1/2)|AB||BC|sin∠ABC =(ca/2) √{1-(cos∠ABC)^2} =(1/2)√{c^2 a^2 -(ca cos∠ABC)^2}

　ここで、(1)で求めて置いた次の関係式を使います。

　　a^2=-(x+y), c^2=-(z+x), ca cos∠ABC=-x,

　∴S=(1/2)√{(x+y)(z+x)-x^2}= (1/2)√(xy+yz+zx)

補足

ベクトルの記号は省略して補足の質問をさせていただきます。
AB=b
AC=c
とおいて内積から考えたらどうなりますか。
それとＳ=1/2|b||c|√(1-cos^2∠BAC)を使ってＳを求める計算はどのようになりますか。

別解として教えてください。