Σ[m=0,M-1] z^m

質問

本に
Σ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z)
と書いてありますが、理解できていません。

他の本に

無限級数の計算は
f(z) = (初項) / { 1 - (公比) }
ただし|z|<1

…と書いてありました。
それに従うと、
(初項)=(1-z^M)
(公比)=z
になります。

しかし、式を展開すると、
Σ[m=0,M-1] z^m = 1 + z^1 + z^2 + z^3 + … + z^M
ということですよね？
(公比)=z
は認めますが、
(初項)=1
じゃないんですか？
多分、私が間違っていると思いますので、間違いをご指摘下さい。
では、お願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

先ず
> Σ[m=0,M-1] z^m
というのはそもそも『無限』級数でないでしょう？ Σの上に書いてある『M-1』は有限の何かの自然数であって、無限大ではないですよ。

その上で、 Σ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z) を示すには、A = Σ[m=0,M-1] z^m に対して zAを計算して、A-zA が確かに 1-z^Mになることを示せばよい...って多分高校のときやりましたよね？

お礼

ごもっともです。有限でした。
お陰様でA-zAが1-z^Mになる計算できました。
最初と最後以外がごっそり無くなるんですね。
ご指摘、ありがとうございました。

回答No.2

f272

> 無限級数の計算は
> f(z) = (初項) / { 1 - (公比) }
> ただし|z|<1
でいいですが，なぜそれをΣ[m=0,M-1] z^m = (1-z^M) / (1-z)という部分和と比較するのですか？無限級数であれば
Σ[m=0,∞] z^m = 1 / (1-z)
ですから，何の矛盾もありません。

お礼

確かに無限級数⇔部分をでした。
ご指摘、ありがとうございました。