ベストアンサー テイラー、マクローリンの定理 2004/07/27 19:07 テイラーの定理、マクローリンの定理が大切と思われる理由を述べよ。という問題が出たのですが、近似値の証明の拡張が出来るからと答えたら間違いでした。 どなたか、ご教授お願いします。 みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー mmky ベストアンサー率28% (681/2420) 2004/07/27 21:48 回答No.2 参考程度に 数学的意義は関数と代数の無限級数和とを接続したことでしょうか。そのほかにもあると思いますが。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） その他の回答 (1) proto ベストアンサー率47% (366/775) 2004/07/27 21:04 回答No.1 大切に思うかどうかがまず主観的なことだとも思いますが… さて、素人意見ですが 様々な関数をべき関数で表すことにより定義域を複素数に拡張することが出来るから ではないかと(個人的には)思います 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A テイラーの定理と平均値の定理 テイラーの定理は平均値の定理を拡張したものと教科書に書いてありました。また他に拡張したものとして、コーシーの平均値の定理があります。どのように拡張したらその公式ができたのかわかりません。 証明を見ても、確かにその式が成り立つというのは分かりましたが、その公式自体何処から沸いて出たのか分かりません。誰か片方でも分かる人がいたら教えてください。 テイラーの定理の問題 前回注意を受けたんで質問の形式を変えます。 問題はテイラーの定理により、関数f(x,y)＝x^3-3xy+y^3を点（2、-1）のまわりでx-2、y+1の二次式で近似せよなんですが、「点（2,-1）の周りでテイラー展開する」と「点（2、-1）のまわりでx-2、y+1の二次式で近似する」とは違う意味ですかね？ 点（2,-1）の周りでテイラー展開するのはなんとかできるようになったんですが、「x-2、y+1の二次式で近似する」の意味がわかりません。 ご教授よろしくお願いします。 テイラーの定理について 問題はテイラーの定理により、関数f(x,y)＝x^3-3xy+y^3を点（2、-1）のまわりでx-2、y+1の二次式で近似せよ。です。 今までのテイラー展開とは型式が違ってるんで少し戸惑ってしまってます。 この問題に似たHPのアドレスでもいいんでとりあえず取っ掛かりがほしいです。 よろしくおねがいします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム テイラーの定理(マクローリンの定理)の問題について テイラーの定理でa=0のとき(マクローリンの定理)の問題について 問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。 わかるかた、ご指導のほど、よろしくお願いします。 特に、問題文でn=3と微分する回数が指定されていて、かつ xの次数が3より大きいケースの解き方について、 解き方があっているかご指南いただければと思っております。 【問題】 次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。 ただし、n=3とする。 (1) x^4 f(x)=x^4 f(0)=0 f'(x)=4*x^3=4x^3 f'(0)=0 f''(x)=3*4x^2=12x^2 f''(0)=0 f'''(x)=2*12x=24x f'''(0)=0 上記の値をマクローリンの定理に適用して、 f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x) f(x)は4次だが、問題文よりn=3の指定があるので、 n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。 f(x)=0+0x+(1/2)*0x^2+(1/6)*0x^3 =0 (2) x^5 f(x)=x^5 f(0)=0 f'(x)=5*x^4=5x^4 f'(0)=0 f''(x)=4*5x^3=20x^3 f''(0)=0 f'''(x)=3*20x^2=60x^2 f'''(0)=0 上記の値をマクローリンの定理に適用して、 f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x) f(x)は5次だが、問題文よりn=3の指定があるので、 n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。 f(x)=0+0x+(1/2)*0x^2+(1/6)*0x^3 =0 (3) √(x+1) f(x)=√(x+1)=(x+1)^(1/2) f(0)=1 f'(x)=(1/2)*(x+1)^(-1/2)=1/{2√(x+1)} f'(0)=(1/2) f''(x)=(-1/2)*(1/2)*(x+1)^(-3/2)=-1/{4√(x+1)^3} f''(0)=-(1/4) f'''(x)=(-3/2)*(-1/4)*(x+1)^(-5/2)=3/{8√(x+1)^5} f'''(0)=(3/8) 上記の値をマクローリンの定理に適用して、 f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x) 問題文よりn=3の指定があるので、 n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。 f(x)=1+(1/2)x+(1/2)*(-1/4)x^2+(1/6)*(3/8)x^3 =1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3 この解き方であっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。 テイラーの定理を出来るだけ簡単に教えていただけない 応用情報技術者 平成21年春期 午前問2 (1+α)nの計算を、1+n×αで近似計算ができる条件として、適切なものはどれか。 ア |α|が1に比べて非常に小さい。 イ |α|がnに比べて非常に小さい。 ウ |α÷n|が1より大きい。 エ |n×α|が1より大きい。 テイラーの定理？で展開できるとの事ですが テイラーの定理が分かりません 出来るだけ簡単に教えていただけないでしょうか 数学は苦手です、お願いいたします テイラーの定理→マクローリンの定理 テイラーの定理 f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+{f''(a)/2!}(b-a)^2+・・・・・・+{f^(n-1)(a)/(n-1)!}(b-a)^(n-1)+{f^(n)(c)/n!}(b-a)^nにおいて a=0,b=x,c=θxとすると、マクローリンの定理 f(x)=f(0)+f'(0)x+{f''(0)/2!}x^2+・・・・・・+{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1)+{f^(n)(θx)/n!}x^n と教科書にかいてあります。 その下に、いろいろな説明があって sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-・・・・・+{(-1)^(m-1)/(2m-1)!}x^(2m-1)+{(-1)^m sinθx/(2m)!}x^2m cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-・・・・・+{(-1)^m/(2m)!}x^(2m)+{(-1)^(m+1) cosθx/(2m+2)!}x^(2m+2) とあるのですが、sinxについての一番最後の項は分子(2m+1)!、xの次数は2m+1だと思うのですが、これは間違いですか？ テイラー展開とマクローリン展開の語源に関する質問 テイラー展開はマクローリン展開の拡張であり、 マクローリン展開はテイラー展開のある制約のもとで成り立つ式です。 テイラー展開とマクローリン展開はどちらが先に生まれたのでしょうか？ なぜほとんど同じものである公式に全く別の人の名前がついているのでしょうか？ ★急ぎ★マクローリン(テイラー)展開について マクローリン(またはテイラー)展開の証明の方針が知りたいです。 実際に証明式を書いてくれると有り難いですが、面倒臭ければ、方針の箇条書きでも結構です。 出来るだけ早めによろしくお願いします。 マクローリンの定理について、 マクローリンの定理について、 1/(1-X)=1+X+X^2+・・・・・・・+X^(n-1)+X^n/(1-θX)^(n+1) で、 この関係を満たすθ(0<θ<1)が存在することを証明せよとあるのですが、 どうやればよいのかよくわかりません。。。 どなた教えてください！！ テイラーの定理 現在大学の工学部一年です 今度の微分積分学のテストでテイラーの定理の問題がでそうなのですがノートや教科書をみてもお恥ずかしいことにほとんど理解ができず困っております テイラーの定理がしていることはなんなのか、また問題がでるとしたらどのような形で出題され、どのような手順でとけばよいのでしょうか？ わがままな質問で申し訳ありません テーラー展開するには e^-xをテーラー展開するということはマクローリン展開すればよいのですか？問題ではxの値が指定されていません。さらに、近似誤差が１％以内となるxの値も問われています。どうすればよいか詳しく教えてください。 テイラーの定理と近似値 f(x)=√xに対してテイラーの定理を利用したときのf(9.2)(=√9.2)の近似式を教えてください。 また、実際にn=0,1,2,3,4,5,6,7,8のそれぞれの場合についてこの式の値を計算し、√9.2の正確な値と比較してください。 まったく解き方がわからず困ってます。途中の計算式も交え、どうしてそうなるのかわかりやすく教えていただけると助かります。 テーラー展開（マクローリン展開）について テーラー展開についての質問です。 問題=============================================== 1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。 =============================================== この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、 わからない点が有ります。 <解答例> cos x のマクローリン展開は、 cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞）であるから、 1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …) ここで、 1/(1 - x) のマクローリン展開が Σ{n=0→+∞} x^n で与えられるので、 これを利用して、 1/cos x = 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + … ー(1) = 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +… ー(2) となる。 ここで疑問なのは、 1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、 適用できるわけじゃないですか？ (1)から(2)のような形にする場合に、 |(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか？ 具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、 cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、 それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので このような展開をしてはいけないと思うのです。 当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、 ご指導お願いします。 負の二項定理の証明とテイラー展開式 １．負の二項定理の証明が思いつかないので教えてください。 ２．いろいろ調べていると負の二項定理は二項定理の（１＋ｘ）＾aのｘを-xとし、aを有利数まで拡張した（１-x）＾aのテイラー展開式でかける関連があることだけわかりましたがどのようにつながっているのかわかりません。 お手数ですが教えてください。 ｎ次近似式とテイラー展開について 学校で近似式の勉強をしていて、テイラー展開という所まで進みました。 そこでｎ次近似式との関係について良くわからない事がありましたので質問します。 文章がわかりにくいと思いますがお願いします。 ｎ次近似式は、ｎ番目までの近似でｎ番目の後にランダウの記号がついています。 テイラー展開はｎ番目の近似の後にさらに・・・と続いています。 この二つにはどのような違いがあるのでしょうか？ あとマクローリン展開はa=0の時のテイラー展開という事はわかりました。 そこで、 f(x)=exp(x)のx=0におけるn次近似式を求めよ。と書いてあった時は、ｎ次近似式とテイラー展開が同じ事を言っているとしたら、マクローリン展開で解いても良いのでしょうか？ マクローリンの定理が分かりません！！ マクローリンの定理について、よく分からない部分があります。 次の関数にマクローリンの定理を適用した場合、どうなるのでしょうか？？ f(x)=(1+x)＾α f(x)=log(1+x) f(x)=1/√(1+x) f(x)=√(1+x) f(x)=e＾(2x) ただ、２番目のf(x)=log(1+x)について、自分で解いたものと、ある問題の解答と見比べてみたのですが・・・ 解答・・・log(1+x)=x - x＾2/2 + x＾3/3 + … + (-1)＾(n-2)x＾(n-1)/n-1 + (-1)＾(n-1)x＾n/n(1+θ)＾n となっていました。 でも、自分で解いたら、最後の項（nの項）が (-1)＾(n-1)x＾n/n(1+θx)＾n と、θの前にxがついてしまいます。 この解答は、たまにミスプリントがあるので、本当がどうなのかわかりません。もし、この解答があっているなら、どうしてxが消えるのでしょうか？ いそいでいるので、早く回答いただけると助かります。 よろしくお願いします。 マクローリン展開 e＾i(α+β)とe＾iα*e＾iβが等しいことを証明せよ。とゆう問題をマクローリン展開と三角関数の加法定理を使ってできるのでしょうか？ 教えていただきたいです。 テーラーの定理について。 テーラーの定理について。 sinx の原点の周りでのテーラー展開で3次の剰余項をR_3(x)としたとき, sin x=x+R_3(x) R_3(x)=-cos(c)x^3/3! (0<c<x) で原点の周りの適当な開近傍ではR_3(x)が無視するとあったのですが, どういうことなのでしょうか？ｃの値によって近傍を適当に取ればいいとは思うのですが, それで無視できる理由がわかりません。 よろしくお願いします。 テイラー定理を用いた証明です。 画像の問題について証明できず困っています。 自分の中で解法の指針も立たずお手上げ状態です。 どなたか解説お願いします。 他の質問にテイラーの定理を用いないで証明したのがありましたが、 問題に沿ってないのでテイラーの定理を用いてお願いします。 マクローリンの定理の適用のしかたについて 以下の問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。 これであっているか、わかる方、ご指南お願いします。 特に、最後の(6)の指数が分数になっている場合の解き方に自信なく 途中までしか計算できませんでしたので 答えが導けていません。 こちらの計算方法を教えていただけると大変ありがたいです。 【問題】 次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。ただし、n=3とする。 (1) x^2 まず、以下の値を求める。 f(0)=0 f'(0)=0 f''(0)=2 f^(3)(θx)=0 Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = 0 これを「マクローリンの定理」にあてはめて、 f(x)=f(0)+(f'(0)/1!)x + (f''(0)/2!)x^2 + Rn(x) =0+0+x^2+0 f(x)=0+0+x^2+0 =x^2 (2) x^2+1 f(0)=1 f'(0)=0 f''(0)=2 f^(3)(θx)=0 Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = 0 (1)と同じように「マクローリンの定理」にあてはめて、 f(x)=0+0+x^2+0 =x^2 (3) x^3+x^2+1 f(0)=1 f'(0)=0 f''(0)=2 f^(3)(θx)=6 Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = x^3 (1)と同じように「マクローリンの定理」にあてはめて、 f(x)=1+0+x^2+x^3 =x^3+x^2+1 (4) x^5 f(0)=0 f'(0)=0 f''(0)=0 f^(3)(θx)=60θ^2x^2 Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = 10θ^2x^5 (1)と同じように「マクローリンの定理」にあてはめて、 f(x)=0+0+0+10θ^2x^5 = 10θ^2x^5 (5) √(x+1) f(0)=1 f'(0)=1/2 f''(0)=-1/4 ? f^(3)(θx)=3/8(θx+1)^(-5/2) ? Rn(x)=(f^(3)(θx)/3!) * x^3 = ? ここで計算がわからず断念しました。 途中までの計算はあっているでしょうか？ ご指導お願いします。 以上、よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 今も頑なにEメールだけを使ってる人の理由 日本が世界に誇れるものは富士山だけ？ 自分がゴミすぎる時の対処法 妻の浮気に対して アプローチしすぎ？ 大事な物を忘れてしまう 円満に退職したい。強行突破しかないでしょうか？ タイヤ交換 猛威を振るうインフルエンザ カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
